证明：函数[tex=4.0x1.429]h8L9h8J7AgNi0Vi1+nVgbQ==[/tex]，[tex=4.357x2.357]vpgLV47EHIN8emToP5bea3RiO0Fo1FVZaComJ3NTHss=[/tex]都是调和函数，但[tex=4.714x1.357]QWSXe8P/RZYscrdBo9o/lQ==[/tex]不是解析函数.
由于[tex=18.071x9.071]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[/tex]，所以[tex=6.143x2.714]Hvc3DRViYQYrFC7OWnSXUx/KmzK/fvn3ahKFrBFpVwxopLhKHOKBvbVK8E0zDMhgBuW2gdvIIPDM+afSfsi2X/C8fTLAsNOo5fn5aUxYbyc=[/tex]，[tex=6.0x2.714]Hvc3DRViYQYrFC7OWnSXU9ObGyqFVnK3vcfSBDko4lbBW/EwoWBe/IbvUWsdirgh2oMU8MbV5+6vbH5GbXaaXX5uj2swr582MVjf8vXscNc=[/tex].故[tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex]是全平面上的调和函数，[tex=0.5x0.786]GWrvJtODhYOBa2bpkSPSFQ==[/tex]除原点外在全平面上调和.但[tex=4.143x2.643]9tO/e5DyKRkzg0MpCtFEok88bKwfMXYU2Z4jAiYtbo1dB8akfuDKMih2/iI6kDX7JEmWtWa/YaUmuk/MGqlEC5/WcPkOQjCX2bL7U1wOHIk=[/tex]不满足C-R条件，所以[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]不是解析函数.
举一反三
- 由[tex=9.143x1.357]c4uyRCEJMQT1jWIZcPqabOhGwjrltKDCmykj/bhOD4E=[/tex]求解析函数[tex=4.714x1.357]QWSXe8P/RZYscrdBo9o/lQ==[/tex].
- 证明：如果函数 [tex=4.714x1.357]QWSXe8P/RZYscrdBo9o/lQ==[/tex]在区域 [tex=0.857x1.0]ofIiYl/HFo5Sh5/9yqVkow==[/tex] 内解析，并满足下列条件之一，那么 [tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex] 常数。[tex=1.786x1.571]8JGCENWlkATw38GxlnmT3w==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex] 内解析。
- 证明: 如果函数 [tex=4.714x1.357]QWSXe8P/RZYscrdBo9o/lQ==[/tex] 在区域 D 内解析，并满足下列条件，那么 [tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex] 是常数。[tex=2.357x1.357]V2914mf7x4WluvnQ9nQEeQ==[/tex] 在 D 内是一个常数。
- 证明[tex=8.643x2.357]TjeTSTmrfxPUDs+Gddz56KhzWukytBbGEKdpJPh+M4SNgOjNNYBrgNcDNHNrb0NE[/tex]都是调和函数，但是[tex=2.143x1.143]HFrWobbamEny29cerhsNRw==[/tex]不是解析函数。
- 如果[tex=4.714x1.357]WVXxmENOyLsrAK1u24ZaKpfiudWoCMFKE7yFzwDqM2w=[/tex]是一解析函数，试证：（1）[tex=2.143x1.786]4KZ/pO3sLF10383T2p50AW8R8WCm4Eix38GcIab+i3pwQwzF+fKFx+fNj5ugVqci[/tex]也是解析函数（2）-u是v的共轭调和函数。（3）[tex=8.929x2.714]VGXzV15psxV0cBMwKVrVbuMoOXdV+Yk2MpPVTJAvfxMCkIE3bPD/y0Sxfc1i847aFfKM2ml7yjnGpx5L1BLATZBsa7LoRJpwet6xLTvJptc4CCpsVuNX5Ot7Bqn2RJCiclGj4NQRw7fbKhp2F0ajXw==[/tex]=[tex=8.857x1.643]Q0Ezd43LDeNGSFF1HD/X+nVEh77NG1HPyrxZMPH3igXsS6p9dc+DNDH3M8YtOEmzDfM1ltfMQmlTNS1Y3AOXC9SS+kODOYzv283/UaXaVtQ=[/tex]
内容
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设h为X上函数,证明下列两个条件等价,（1）h为一单射（2）对任意X上的函数[tex=5.429x1.214]3BrfPgAFe5dbHQTMAYnbS+118W4YAj6CiW06EKMaxNI=[/tex]蕴涵[tex=1.786x1.214]pxzkG5OdsKT9CiCwC5OvPQ==[/tex]
- 1
设h为X上的函数,证明下列两个条件等价。(1)h为一满射,(2)对任意X上的函数[tex=5.429x1.214]OREhy0bsXZWZ6y8PdI7nwHYlaKprN6KYnR/FCpmEbdk=[/tex]蕴涵[tex=1.786x1.214]pxzkG5OdsKT9CiCwC5OvPQ==[/tex]
- 2
试证[tex=8.786x2.357]TnUDpRqmp498lq23BsppU5DHMFH1fKl7zMotzn8+SyM2n30HbyVGiZLMXCNDIzQC[/tex]都是调和函数,但 [tex=2.214x1.143]hSY9o2OT3oZRiVc2tzqZ/w==[/tex]不是解析函数.
- 3
若 [tex=6.143x1.571]2Tgmt23zCEDOCwLdhH9oFvtPcAWRq74zm655k3j5apY=[/tex] 是调和函数，试求解析函数 [tex=4.714x1.357]NL3JEbC2IcrRqXO8pcs+Rw==[/tex] 。
- 4
由已知调和函数[tex=9.143x1.357]R0xF92SKx3DtVs29//bLzCsvUfwh7lR1ivO0LtzTB8M=[/tex]求解析函数[tex=4.714x1.357]k7ZZy29fAPTldYCnWZx7/A==[/tex].