设随机变量[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]都服从[tex=2.143x1.286]dboSCjP3Fn5+xkkJFCNE+A==[/tex]分布，证明： “[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]不相关”与“[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]独立”等价．

2022-06-19

设随机变量[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]都服从[tex=2.143x1.286]dboSCjP3Fn5+xkkJFCNE+A==[/tex]分布，证明： “[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]不相关”与“[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]独立”等价．

答案：

证：根据条件，不妨假设：[tex=11.786x1.286]svDCyvN0PCPI8Vbw8MqhD58RCXbS0uSfEpmSIQqjuwU=[/tex][tex=4.786x1.286]pq6RoAxBz+3cvyul8zgx8Q==[/tex]．任何两个独立随机变量一定不相关，故只需证明：若[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]不相关，则[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]一定独立．设[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]不相关，即[tex=7.0x1.286]Fsc4c/MsrMbL1SEpyKHrDmKSWwNmUF4ydiRy0R1FUw0=[/tex]；易见[tex=11.071x1.286]uzzkw3KgOWzgbCGB1lfLcmyStOv0sAENj3fjL3yg6SA=[/tex]，[tex=14.357x1.286]QjvhOUTd9wVfTfpnYqP4YPbzcAZiV7HYRW9CpNQ8afRGRTbT73mhtFIYxvTXCsX5[/tex]，[tex=18.857x1.286]8HK8D1bgqIidTwB44/G8d8E4KGrdSjMTyVzwKmQjlBJZJ8onh8AC3o8Sk6kUJn2n[/tex]．这样，我们证明了：若[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]不相关，则事件[tex=5.643x1.286]xjOkZt9XBMwbK6KsCalkLg==[/tex]与[tex=5.643x1.286]YaSIbw6QEMkw4oC42ZVuAg==[/tex]独立．根据二独立事件的性质：若[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]独立，则事件[tex=5.643x1.286]u09yYijweYpOCzct0qNnXJ0iZtS/7oCDUQ98lIK9ZnQ=[/tex]与[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=5.643x1.286]eaEAOzm2cc7ATqpqoSe56NqASVr9yNrsxOnaJ3kRms8=[/tex]以及[tex=0.786x1.286]L7J1Vf/X6maXzin307QQow==[/tex]与[tex=0.786x1.286]EHkYrduwiP/Yl14u8LSIOA==[/tex]也都相互独立．于是，随机变量[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]也相互独立．[br][/br]

举一反三

内容

0
设随机变量[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]的数学期望[tex=1.714x1.286]tnqXjXNHESmtAydX2nd1FQ==[/tex]和[tex=1.571x1.286]9HHQOQ6kFW8m23SI56qi0g==[/tex]存在，证明：假如[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]独立，则[tex=7.0x1.286]Fsc4c/MsrMbL1SEpyKHrDmKSWwNmUF4ydiRy0R1FUw0=[/tex]．
1
设随机变量 [tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex] 与 [tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex] 相互独立， [tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex] 服从正态分布 [tex=3.929x1.286]N5dq4BwkTdWMAb0OmXWoEaQHcjMspfC0l4+u6bRl6uAvEVUQUcSxPV1hL5aXeKrf[/tex], [tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex] 服从均匀分布 [tex=3.857x1.286]oINv2OUrkfWf54e8Ht2lD1iv2R1pi2JiMcP1OIfioeI=[/tex] , 求 [tex=4.929x1.286]bstb6Acm/GnARrPc8f1uPw==[/tex] 的密度函数.
2
若[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]独立，证明[tex=19.143x1.286]NpVA38FZm94Nc/MNwvL8w8SoZ+pJnmEA8X0PISXKPg7Y8hNmBllpKcNorgYuDSrh[/tex]。
3
假设随机变量[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]的联合概率密度为[tex=17.571x3.143]EPaISH7F+7OFqeEao9lVbRHesk4tplA2VrcCvwQ3rO0t9Qq8Iw/niDFSpYDusNul2n6lMAa/nNo6fxngQQtlYClfavo3+nsShxM9BlAXlm07xYNG1+7omwt7s4WdO9vNijRJOmbFVFR9SeYuI5TFgQ==[/tex]．证明随机变量[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]不独立，但是[tex=1.286x1.286]ZIiW0MT/rNSURu/rNXyUxw==[/tex]和[tex=1.214x1.286]gnrbKJKP0x+Xz9YnDSiKgQ==[/tex]独立．
4
设[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]分别表示100次独立重复试验成功次数和失败的次数，证明：随机变量[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]的标准差的最大值等于5，相关系数等于[tex=1.214x1.286]WDa3CFFbujv+acHNTSW8sQ==[/tex]．