设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]对一切实数[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]满足关系式[tex=12.143x1.571]oe6Y6KRQZY0QeXLoNKQj2DVVRBW7T0DL8xdrtxeSAEoXt8XX9huFYhQt/cuGw/8AYID9CLGbIkfiAmVNgp4LppysqTV/2DsOaMNLjQWUZ1HIkuZNLAXNso46jkt+HsoP[/tex](1) 若[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在点[tex=6.5x1.286]v96cVO/vN8TOnG6sstlXr29k5oMFbB4Oct7UG0scbYvUjzk3AdAIJTKxq5gTYDgP[/tex]处有极值，试证它是极小值.(2) 若[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在点[tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex]处有极值，则它是极大值还是极小值?

2022-06-16

设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]对一切实数[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]满足关系式[tex=12.143x1.571]oe6Y6KRQZY0QeXLoNKQj2DVVRBW7T0DL8xdrtxeSAEoXt8XX9huFYhQt/cuGw/8AYID9CLGbIkfiAmVNgp4LppysqTV/2DsOaMNLjQWUZ1HIkuZNLAXNso46jkt+HsoP[/tex](1) 若[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在点[tex=6.5x1.286]v96cVO/vN8TOnG6sstlXr29k5oMFbB4Oct7UG0scbYvUjzk3AdAIJTKxq5gTYDgP[/tex]处有极值，试证它是极小值.(2) 若[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在点[tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex]处有极值，则它是极大值还是极小值?

答案：

分析  若[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在点[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]处有极值，且可导，则 [tex=4.143x1.429]k5weWvhPtr/rc567JmOhZX/bNnmnAPE/i2UfW9dBVfgDCPncWH7qDQobP9cisqvY[/tex]，依此条件及所参关系式可判别[tex=2.929x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq6niG9YnFcwm8S6ceaqFjKy0ziVAg4gBi0Lhj4k+DeDW[/tex]的符号，从而证其结论.当[tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex]吋，由所给关系式，无法判定[tex=2.357x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq0PgUgAuh6FKes0MWt9AHgg=[/tex]的符号，而需用二阶导数的定义求[tex=2.357x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq0PgUgAuh6FKes0MWt9AHgg=[/tex]从而予以判定. 证(1)依题意[tex=1.857x1.357]JLhpe6im6yaVqgdD5OYnKQ==[/tex]二阶可导，故在极值点[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]处必有 [tex=4.143x1.429]k5weWvhPtr/rc567JmOhZX/bNnmnAPE/i2UfW9dBVfgDCPncWH7qDQobP9cisqvY[/tex]，将其代人[tex=12.0x1.571]oe6Y6KRQZY0QeXLoNKQj2DVVRBW7T0DL8xdrtxeSAEoXt8XX9huFYhQt/cuGw/8AYID9CLGbIkfiAmVNgp4LpimeqtjutXFPG7w7zZylzC6rSV+kP2lbouXqrTdjLFsC[/tex]，得[tex=7.714x1.429]rE/00Mg/QKZ/sALZEN28SDO8NqMW9MkIzJngt9zVv2vwxMPTAKMrHOcmtHF0b7PJcxE9mRYMC3cQe80kPPxlZRa6YHZ7CnsgpFA+50tgTsk=[/tex].若[tex=2.786x1.214]dAC03lJ5WjtFLUOfaVMJrA==[/tex]，[tex=4.786x1.286]m6Ip4y00F6CF2Fi18fjkoRem2YKf/bf0vWphigmhBiM=[/tex]，有[tex=4.786x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq6niG9YnFcwm8S6ceaqFjKyQolF5UkhvD3eecuYEco9F[/tex]；若[tex=2.786x1.214]+jmBaV0xBn8Kez204oSdjQ==[/tex]，[tex=4.786x1.286]m6Ip4y00F6CF2Fi18fjkoQrVNugO1LH5EFjk5SIfBF4=[/tex]有[tex=4.786x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq6niG9YnFcwm8S6ceaqFjKwpT+NMoRLR40Ejje6+R9yT[/tex] .故[tex=2.786x1.286]vl7ePBeEQqW9xrWLd1u8PClIAl32JNpGooM8oSwv/9M=[/tex]时[tex=4.786x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq6niG9YnFcwm8S6ceaqFjKwpT+NMoRLR40Ejje6+R9yT[/tex]，由极值的第二充分条件知，[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的极小值点，即[tex=2.357x1.357]5s1Pyp2g/W5DyoDffIRFvJb8dtW9qy/mmMOGrha2vV4=[/tex]为极小值.(2) 若[tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex]处有极值，则[tex=3.429x1.429]pT/UR8b8n3pqCE1GhAilsfuTgw8sMZNk6fKhShN0Yxk=[/tex] .依题意[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]二阶可导，故 [tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]连续，即有[tex=17.071x9.929]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[/tex]所以[tex=1.786x1.357]7OQ6MnGIbo1txdlYbmL7wQ==[/tex]为极小值.

举一反三

内容

0
试证明下列命题：设[tex=5.143x1.357]ErP4DRKVbHttzdFEItW0Oluc1GN5I3aGF77g43i5NkI=[/tex].n若对任给[tex=4.429x1.357]GZNUg7PsMcZAZnQyoB7SgQqIkjpI9t4QX53604g/eZc=[/tex] 在[tex=1.857x1.357]3kFsxSw3oX59d7ZOTzQb1M5UYY23tA8K+m+SBhKPjuU=[/tex]上绝对连续.且 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 处连续,则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在[0,1]上绝对连续.
1
设函数 [tex=12.786x4.071]ACpG7W/lXiEwdW69ASBj8/2YlnttL4SSB5wR8px8LpgUNzq7ycdc7SLe4a4gCUD/CbNsVRhRP/lHmPeVS16UtG9Khkwa+IYO4PoiXfjXGMw2WptZMt2fs9fNz+4jAOVOFkx4pUhmaNtVuSPhoF33Gg==[/tex]，讨论在上面条件下，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex](1) 在 [tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 处连续;(2) 在 [tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 处可导;(3) 在 [tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 处导数连续?
2
设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在点 [tex=1.857x1.0]fwov+ZzREJJP/GTCJbKvrw==[/tex] 的某邻域内有定义, 且[tex=14.143x2.0]j9xQoAXOO/rhZ2v9jEBRiI8bw3CHft7hrxnaKNO/f+t5UbORG8jSsjO7SikHkPHo[/tex] 试判断:(1) 函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在点 [tex=1.857x1.0]fwov+ZzREJJP/GTCJbKvrw==[/tex] 处是否可微? 若可微,给出函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在点 [tex=1.857x1.0]fwov+ZzREJJP/GTCJbKvrw==[/tex] 处的微分;(2)函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在点 [tex=1.857x1.0]fwov+ZzREJJP/GTCJbKvrw==[/tex] 处是否可导?若可导，给出函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在点 [tex=1.857x1.0]fwov+ZzREJJP/GTCJbKvrw==[/tex] 处的导数.
3
设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.286x1.0]ii77lCTXExv3mnaX1dHV/A==[/tex]处 [tex=3.786x1.429]F27M+tMBWun73FG3D7wgFS7yd1R4xS62zskwGMLHYiU=[/tex]且[tex=3.929x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq/1LlmU/9Uc5ka5/oiUgs/k=[/tex] 则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.286x1.0]ii77lCTXExv3mnaX1dHV/A==[/tex] 点（）. A: 一定有最大值 B: 一定有极小值 C: 不一定有极值 D: 一定没有极值
4
设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]连续，[tex=7.214x2.643]2ZJQOGzPP+WXkSjEhj0ot/8XbWpx0nNxKCDDSnV56LI=[/tex]，试证：(1) 若[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是奇函数，则[tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex]是偶函数;(2) 若[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是偶函数，则[tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex]是奇函数.