设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=6.0x1.357]jCcQXg2Xc0otX1PZx/i2SQ==[/tex]上连续,证明:若[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]为奇函数,则[tex=6.071x2.714]dZ1ScyWj84mTcoQJz8k2XbF+QVNJUUdRpdrYxpoEEt8=[/tex]

2022-06-19

设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=6.0x1.357]jCcQXg2Xc0otX1PZx/i2SQ==[/tex]上连续,证明:若[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]为奇函数,则[tex=6.071x2.714]dZ1ScyWj84mTcoQJz8k2XbF+QVNJUUdRpdrYxpoEEt8=[/tex]

答案：

分析  积分区间为对称区间 ,利用积分对积分区间的可加性,将[tex=2.857x1.357]LPA1jsDMWqKTZj6JebN9Ow==[/tex]上的积分分解为[tex=2.857x1.357]BFbqfwiXS0mAoAKud1LDXw==[/tex]和[tex=2.071x1.357]eHCXOpUPqp53VCUpGXieJw==[/tex]上的两个积分之和,而后令[tex=2.5x1.071]V0UPAzjZoJWV4GT/yux34Q==[/tex],再将[tex=2.857x1.357]xm6yBre2bgdFb6qNo0rQgw==[/tex]上的积分变换为[tex=2.071x1.357]eHCXOpUPqp53VCUpGXieJw==[/tex]. 再利用函数的奇偶性以及积分与积分记号无关的性质,便可获证.[b]证  [/b]由于[tex=1.857x1.357]JLhpe6im6yaVqgdD5OYnKQ==[/tex]在区间[tex=2.857x1.357]LPA1jsDMWqKTZj6JebN9Ow==[/tex]上连续,所以f(x)在区间[tex=2.857x1.357]4w8NNUW4kBY3eY1mlvsOmQ==[/tex]上可积,根据定积分的性质有[tex=16.071x2.929]H3SZIUGayhIPMuHWXCriKD/XbuNeG8/mSfrw6hUUgIin3+qEPPzjtysjD1WFlKdM5ITVVZJazssALnVpBW8SYo7GSNJe7Zl08SDOzVQW2r8=[/tex]又因为[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]为奇函数，即[tex=6.071x1.357]QAKd6JuXD3qmM5BgGo/OSQ==[/tex],所以[tex=25.714x5.214]LR/jYddkRyS52kPK4CQg9w6RK+Cz3fV/7TA41qA+YDwxaIq5znB3Bv8CITMSrAMqWixUNVdWmLQixxCyi3DrPVdhfKQK7vX9V0oEsh9JPbNGStRkzbwCMTComlJ54vNLtB8ykuz73gXHF5pVi99eUJ68nbxdIweoNJS3GRqa+ObTMXEMMo/qftrE1RJaqq2+ugvKcUjvCEwyVMQFvY8XQYWow0D2FuInYmDsC708xdtspe0yKi/aTdp5P4cP3j7L3qz95tUZ8S/HrYmPiMBQ7u7qi6mzrZnEn0mIuvGJ6dvTh2u05S4BEaMCpy2S9YzL5Stbc99Z/hJ+KkBlFyaic91ruMLfYQ2tALJvt2Ha+Ec=[/tex]因此[tex=18.643x2.714]dZ1ScyWj84mTcoQJz8k2XTrFGk4W/ghm8mGvpdRBCQbkEyOfOZxktJ82H4W5CXnC7vUt8ORW/99VnUenO1YyfF7/ChJK2J+l2yLmy6yMDt/aoKdRJxjJjw6Ieb9P6WMJ4bLWay9JTdnNcDfWsPLsxA==[/tex]

举一反三

内容

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设[tex=9.0x2.857]dT5tO8+kvspSX29znp6hWPcRleyC/Oor3hOtFnEeVKWMhAwyQN1L849Sg2m7O8+O[/tex].（1）证明[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是以[tex=0.571x0.786]l57IXZOdm4C+U7oqJ3rVIQ==[/tex]为周期的周期函数;（2）求函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的值域.
1
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上有2阶连续导数，且满足方程 [tex=10.714x1.5]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq53sXv8i7JEFdpsaW068Ose09yUYGhX1v6tjCCNywn3QNHpR1XTDhLUiT7SyEWJ5lw==[/tex]，证明：若[tex=5.571x1.357]fZPOLhn8pxWflc83qanxJA==[/tex]，则[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex]上恒为0。
2
设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 连续, [tex=7.286x2.643]ohMuAAUO8tbfC4KGY2AtFrExZMK4JIwCs97TjEC2HbI=[/tex] , 试证:若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是奇函数,则 [tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex] 是偶函数
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设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]为连续函数，又[tex=7.286x2.643]ohMuAAUO8tbfC4KGY2AtFrExZMK4JIwCs97TjEC2HbI=[/tex]证明：若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 为偶函数，则 [tex=2.0x1.357]6D04mYW2ivsCmiBu0E4w8w==[/tex]为奇函数.
4
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.857x1.357]SbOsirSEIIi7xiyeZ0ac2g==[/tex]上连续，根据定积分的几何意义说明：当[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]为奇函数时，[tex=6.071x2.714]dZ1ScyWj84mTcoQJz8k2Xaz/YyzzoOfx4MijCReTb/s=[/tex].