判断以下的集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]关于所规定的运算是否成为线性空间：取[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]为所有定义在实轴上且满足[tex=5.286x1.571]3TvlJO3ML8A8HX6MNXnj1RxHMVKD7bS5DGjqMS+Tupo=[/tex]的复函数集合，其中[tex=0.5x0.857]NRi3wsowr1DPk4leAmkUhw==[/tex]表示复数[tex=0.5x0.786]C7x+w8+jOPZzxFrGGne6Dw==[/tex]的共轭；取数域[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]为实数域[tex=0.786x1.0]PVslpAANJzLHVma1Qw92aQ==[/tex]；向量的加法规定为函数的加法，纯量与向量的乘法规定为复数与函数的乘法。

2022-06-19

判断以下的集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]关于所规定的运算是否成为线性空间：取[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]为所有定义在实轴上且满足[tex=5.286x1.571]3TvlJO3ML8A8HX6MNXnj1RxHMVKD7bS5DGjqMS+Tupo=[/tex]的复函数集合，其中[tex=0.5x0.857]NRi3wsowr1DPk4leAmkUhw==[/tex]表示复数[tex=0.5x0.786]C7x+w8+jOPZzxFrGGne6Dw==[/tex]的共轭；取数域[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]为实数域[tex=0.786x1.0]PVslpAANJzLHVma1Qw92aQ==[/tex]；向量的加法规定为函数的加法，纯量与向量的乘法规定为复数与函数的乘法。

答案：

证：设[tex=2.571x1.286]vb6T/hg4NgdMzpx141uv6g==[/tex]，[tex=7.5x1.357]DARLo44kwwSuJWhOeavPn+OF5ZBQt9VlL9aZAbXd5Hs=[/tex]，由[tex=5.286x1.571]3TvlJO3ML8A8HX6MNXnj1RxHMVKD7bS5DGjqMS+Tupo=[/tex]可知[tex=17.571x1.571]BqrykJDffmDUMXAu9pZoqUoakJX5IZBEs+HnwlqCH/CAlyaJcpClt44ks9FdzMyJ+ucF0bI4ATL6GXIB6XGrfVXkNizvV03OgfyxKyy20gg=[/tex]，即[tex=5.429x1.357]yCdSE8U7oe6/1V+JW1vz9w==[/tex]，[tex=6.071x1.357]wpE/0I/rknhkuHOtXacBpA==[/tex]，故[tex=1.929x1.357]qtItT2nSs9gJhyd/XUewoA==[/tex]为偶函数，[tex=1.857x1.357]xcTe3Sdqv0rnrdNTbK1JGQ==[/tex]为奇函数，取[tex=8.143x1.357]ku+/SQk4ROxHQorDuBw507/nm8tLpWD3jy1zkvADvscvtDfzeYOGSqERPNGplvHD[/tex]，[tex=8.214x1.357]h59EGIMYUX3QlvG7cksR72j7uBWEKBB7tBaXDn7h3LoZ5OV5dvYEsDlU5KoTs+1C[/tex]，[tex=2.0x1.071]nvNYboFMWTfqQCK2arVeJrBIKqaZjiog8dj4NFjrQuQ=[/tex]，[tex=2.286x1.357]jA1zRT0KQhimYbVo0eh5BQ==[/tex]，[tex=2.286x1.357]IDmYVTGRev3H2OzD1Qn/sQ==[/tex]为偶函数，[tex=4.857x1.357]LH2Ep21XUxxDsGiY9EJeO77VSmz/ZYun/KWWwzdVJBo=[/tex]为奇函数。由于[tex=5.357x1.357]/+W5hDfbP8r/d3gKQXMyqsgcWEb01Q30Og0qyKzEumY=[/tex]，[tex=2.857x1.357]dgi4x9DuxmXMe3CmldHL+mbKd/P2kqbA/fcNl01KUPg=[/tex]仍为偶函数，[tex=5.214x1.357]Lpr6LOZIQ7/JzyR51h57BAi8QT3+0ND9O2LA+fdNeWw=[/tex]，[tex=2.786x1.357]qc8/ktXmJ0s6y4Z3ZClCykVau5pbjCWKndgU6h8wDHo=[/tex]仍为奇函数，我们知[tex=23.857x1.357]hzXa0DEYrRiry03FtxSh1bXquow0QHFc1S9QkatR8OI4TMB3pKhoHwVHUhfjFV8kXnjiEOWgPR82cc6h6Mi8Uv8OAYaWNTeW3cKvvlBTvzLxe9NzAGoQ/CcMXBp3MdGw[/tex][tex=17.857x1.357]Czww8HRtE2FnNlCmenBDex+9ZikZHK6i9Rs2u13/LX2YvqsCJacnmQ84Ku3StW5UbAhOg6bQPgMvpAk0d3/r+R9M1JL9YDzzxfVQKEb/EGG1/ewSKpN2jT3VbR0g2N+ZN8rSsXZIP/WnCaBAyTNzmQ==[/tex]易验证此时八条公理成立，所以此集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]关于所规定的运算能成为线性空间。

举一反三

内容

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判断以下的集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]关于所规定的运算是否成为线性空间：取[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]是所有满足[tex=2.714x1.214]aX6XLJmnlrW/wWjeMPW62Q==[/tex]的有序[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]元实数组[tex=5.929x1.357]TASgeax8JPipKY1zvB3ZBmMEzx7q7j/UR1YZ6ry2qVtNVtHHNbkuqJsnNpZD/zq/[/tex]的集合；数域[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]为实数域[tex=0.786x1.0]PVslpAANJzLHVma1Qw92aQ==[/tex]；向量的加法与纯量与向量的乘法和[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维实向量空间[tex=1.214x1.071]CELXPK6OGLmzP1N4H/u0zZXqplIhMR0g1b8jScnua08=[/tex]相同。
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取集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]为实数域[tex=0.786x1.0]czmpOvTmaMgRl7StPBE3ig==[/tex]，数域为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]。集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的向量加法规定为实数的加法，纯量与向量的乘法规定为有理数与实数的乘法，则[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]成为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]上的线性空间。证明：在线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]中，实数1与[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]线性无关的充分必要条件是，[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]为无理数。
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设[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维实线性空间，如果保留[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的向量加法，但在纯量[tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex]乘以向量时，限定纯量[tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex]只取有理数，如此得到的有理域[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上的线性空间记为[tex=0.857x1.286]sos4fU8pEpLIyOuQ2cEmLI7ajGwKeRm0wVzPEibgiW0=[/tex]。线性空间[tex=0.857x1.286]sos4fU8pEpLIyOuQ2cEmLI7ajGwKeRm0wVzPEibgiW0=[/tex]是否是有限维的？
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设[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]所有实函数构成的实数域[tex=0.786x1.0]czmpOvTmaMgRl7StPBE3ig==[/tex]上的线性空间，证明下面向量线性无关：[tex=1.5x1.0]F3xJTFM3YEGpemuHRrdS/w==[/tex]，[tex=1.286x1.214]avRGzUj1wBzmf3NnE5zAOA==[/tex]。
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设[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]所有实函数构成的实数域[tex=0.786x1.0]czmpOvTmaMgRl7StPBE3ig==[/tex]上的线性空间，证明下面向量线性无关：[tex=2.0x1.0]ubrWKbcUVEQuMvQ4FwhN9g==[/tex]，[tex=2.143x0.786]Qx7dC9nSijugfa1AdWsWqg==[/tex]。