证明 : 从有界的数列[tex=6.429x1.357]cBjbtS+pT+EWSc/PKV+Fk2OTvWXBU30fSKkUCor+Qv8=[/tex]中，永远可选出收敛的子数列 [tex=7.143x1.357]FNqssYTOxeyCYvbDNxfNcAuXVz03Gv7yqk4A/iFTXYA=[/tex]
举一反三
- 利用柯西准则,证明以下各数列的收敛性:[br][/br] 对于数列 [tex=6.429x1.357]cBjbtS+pT+EWSc/PKV+Fk2OTvWXBU30fSKkUCor+Qv8=[/tex], 若存在数 [tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex], 使得[br][/br][tex=23.857x1.357]WiudHel+CKjlqtaAVhIMg2eC15j9zNbVWaU/oYLoAXSZPAFpcbBRItx10o+t6fEjWRvWgiHowdHw0jQSAuca3gx1Yo0no3zebxrZE8atwJcg0FhRQxML+BmW9chsmbtLyX3NjVlgxYR2lFLZ7aHYwLHZ6osWp+em5CPdb1VVh1U=[/tex][br][/br]则称数列[tex=6.429x1.357]cBjbtS+pT+EWSc/PKV+Fk2OTvWXBU30fSKkUCor+Qv8=[/tex] 有有界变差.[br][/br]证明:凡有有界变差的数列是收敛的.举出一个收敛数列而无有界变差的例子.
- 设数列[tex=6.429x1.357]cBjbtS+pT+EWSc/PKV+Fk2OTvWXBU30fSKkUCor+Qv8=[/tex] 收敛，而数列 [tex=6.571x1.357]f1zXik2ypkPVStMgUFRqq1Ji04HbJosZjQRYcpKAOqk=[/tex]发散, 则能否断定关于数列 [tex=3.0x1.143]zGBkYiWIVVtqDhc6U2OTjYOkjYi/Z7oK40CbOO1LMcg=[/tex]
- 设数列[tex=6.429x1.357]cBjbtS+pT+EWSc/PKV+Fk2OTvWXBU30fSKkUCor+Qv8=[/tex] 收敛，而数列 [tex=6.571x1.357]f1zXik2ypkPVStMgUFRqq1Ji04HbJosZjQRYcpKAOqk=[/tex]发散, 则能否断定关于数列[tex=1.929x1.0]ySN/Gj9N5kGagiN5LMg0mA==[/tex]$x_{n} 的收敛性? 举出适当的例子.
- 利用 [tex=3.286x1.214]K1reZ+1xSIWCJSAffGD3BQ==[/tex] 收敛原理证明: 单调有界数列必定收敛.
- 在“充分”“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：数列[tex=2.071x1.286]a470owBOq4uAx0xleUuX8oSs3HIBjY40i45K0YJKMQE=[/tex]有界是数列[tex=2.071x1.286]a470owBOq4uAx0xleUuX8oSs3HIBjY40i45K0YJKMQE=[/tex]收敛的[input=type:blank,size:8][/input]条件。数列[tex=2.071x1.286]a470owBOq4uAx0xleUuX8oSs3HIBjY40i45K0YJKMQE=[/tex]收敛是数列[tex=2.071x1.286]a470owBOq4uAx0xleUuX8oSs3HIBjY40i45K0YJKMQE=[/tex]有界的[input=type:blank,size:8][/input]的条件。