设数列[tex=6.429x1.357]cBjbtS+pT+EWSc/PKV+Fk2OTvWXBU30fSKkUCor+Qv8=[/tex] 收敛，而数列 [tex=6.571x1.357]f1zXik2ypkPVStMgUFRqq1Ji04HbJosZjQRYcpKAOqk=[/tex]发散, 则能否断定关于数列 [tex=3.0x1.143]zGBkYiWIVVtqDhc6U2OTjYOkjYi/Z7oK40CbOO1LMcg=[/tex]
举一反三
- 设数列[tex=6.429x1.357]cBjbtS+pT+EWSc/PKV+Fk2OTvWXBU30fSKkUCor+Qv8=[/tex] 收敛，而数列 [tex=6.571x1.357]f1zXik2ypkPVStMgUFRqq1Ji04HbJosZjQRYcpKAOqk=[/tex]发散, 则能否断定关于数列[tex=1.929x1.0]ySN/Gj9N5kGagiN5LMg0mA==[/tex]$x_{n} 的收敛性? 举出适当的例子.
- 证明 : 从有界的数列[tex=6.429x1.357]cBjbtS+pT+EWSc/PKV+Fk2OTvWXBU30fSKkUCor+Qv8=[/tex]中，永远可选出收敛的子数列 [tex=7.143x1.357]FNqssYTOxeyCYvbDNxfNcAuXVz03Gv7yqk4A/iFTXYA=[/tex]
- 利用柯西准则,证明以下各数列的收敛性:[br][/br] 对于数列 [tex=6.429x1.357]cBjbtS+pT+EWSc/PKV+Fk2OTvWXBU30fSKkUCor+Qv8=[/tex], 若存在数 [tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex], 使得[br][/br][tex=23.857x1.357]WiudHel+CKjlqtaAVhIMg2eC15j9zNbVWaU/oYLoAXSZPAFpcbBRItx10o+t6fEjWRvWgiHowdHw0jQSAuca3gx1Yo0no3zebxrZE8atwJcg0FhRQxML+BmW9chsmbtLyX3NjVlgxYR2lFLZ7aHYwLHZ6osWp+em5CPdb1VVh1U=[/tex][br][/br]则称数列[tex=6.429x1.357]cBjbtS+pT+EWSc/PKV+Fk2OTvWXBU30fSKkUCor+Qv8=[/tex] 有有界变差.[br][/br]证明:凡有有界变差的数列是收敛的.举出一个收敛数列而无有界变差的例子.
- 试用定义1证明：(1) 数列[tex=2.357x2.786]YfOpfsXU462gw1PTp8mUhnyox9SPD+a41vcy562G3qQ=[/tex]不以 1 为极限[br][/br](2) 数列[tex=3.643x2.786]hn0grm0nFoK1+B+qN90oORmIO38IPAPRNvMSoSSLroY=[/tex]发散.
- 若数列[tex=2.071x1.286]a470owBOq4uAx0xleUuX8oSs3HIBjY40i45K0YJKMQE=[/tex]收敛，而数列[tex=2.0x1.286]vIr3sz984FyBbuWSE/0EO/RGK6QpDA8IvfOT4Spe4DU=[/tex]发散，则数列[tex=4.214x1.286]88cgGOKVDCoXov4DeSHyiHbsmI2UJVUGqfYiVp80NRk=[/tex]必发散 .