设函数[tex=9.429x1.286]60ZZrqZxR6FjwIEDJkkN8GZzuRA9Db9FoIYXt88y0rQ=[/tex]，问常数[tex=2.286x1.286]bgRCqFDh7Qlm+Jdlv7ZhhQ==[/tex]满足什么样的关系时，（1）[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]没有极值；（2）[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]可能只有一个极值；（3）[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]可能只有两个极值。

2022-06-09

设函数[tex=9.429x1.286]60ZZrqZxR6FjwIEDJkkN8GZzuRA9Db9FoIYXt88y0rQ=[/tex]，问常数[tex=2.286x1.286]bgRCqFDh7Qlm+Jdlv7ZhhQ==[/tex]满足什么样的关系时，（1）[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]没有极值；（2）[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]可能只有一个极值；（3）[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]可能只有两个极值。

答案：

解：函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]的定义域为[tex=4.643x1.286]kWKrbE2Y4JZYxfdbsdRqUvt8T2qNtBnhIme8hhtrgR8=[/tex]，且在[tex=4.643x1.286]kWKrbE2Y4JZYxfdbsdRqUvt8T2qNtBnhIme8hhtrgR8=[/tex]内可导，因此它的极值点一定是驻点。[tex=9.714x1.286]nOJBJucVwlQuHq02hM9TsswaEWKWGaMHqNp5x7+4vEn5r1Rg+IbOtCpmAh1lyyFz[/tex]，令[tex=3.929x1.286]nOJBJucVwlQuHq02hM9TshFm+YZTv5ximTg1KFYKyjI=[/tex]，即[tex=8.071x1.286]QGNHlt3LephhMYapa21l5+VBgdOHzbu3ACw6z1Lhwy0=[/tex]。由一元二次方程根的判别式知：[tex=7.5x1.286]e6MLWSRE7LmBHlQjp/+ypybFTXfjX6hFFhWe+7alox0=[/tex][tex=12.786x1.286]rYU5QPNCktW9KxyjRF8FWNqlqdJd7iZbYML+Cen0+30ZdQZv4KT4RtjFhUWUeCeCMqJJkyn1yWUn7cPyrXajvA==[/tex]，（1）当[tex=2.643x1.286]YVCtETx+5AdOfZMFUBHScA==[/tex]，[tex=3.929x1.286]nOJBJucVwlQuHq02hM9TshFm+YZTv5ximTg1KFYKyjI=[/tex]无实根，由此可知：[tex=3.643x1.286]vTMmYbZcFJB5tYRq+ZBwfe1wxHXtSQJ1SuNNe1zYNXo=[/tex]时，[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]没有极值；（2）当[tex=2.643x1.286]1KawjS80jnamMY7fbpqbQg==[/tex]，[tex=3.929x1.286]nOJBJucVwlQuHq02hM9TshFm+YZTv5ximTg1KFYKyjI=[/tex]只有一个实根，由此可知：[tex=3.643x1.286]KKVH9uTuTYjTBL2bVaKJ1KxtUH/atF0qANpDeEM2ZYw=[/tex]时，[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]可能只有一个极值；（3）当[tex=2.643x1.286]w3V4RfA8GY/UlkXKTN4W7Q==[/tex]，[tex=3.929x1.286]nOJBJucVwlQuHq02hM9TshFm+YZTv5ximTg1KFYKyjI=[/tex]有两个不同的实根，由此可知：[tex=3.643x1.286]OzKgOfCZW8c3lGGFEv1rg9pJavLFoA4CPdU8HjAdGlE=[/tex]时，[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]可能有两个极值。

举一反三

内容

0
设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 为有二阶连续导数的偶函数, 且 [tex=4.143x1.286]YRReUQzIsdcIgxj5peM19AlFsoF7N1iUYqD7NPZ8gkOyRhnc4Bfma30hFEE4ZOco[/tex]。证明[tex=2.357x1.286]F20DA9b5PZyvxJH27l4LOQ==[/tex] 是 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 的极值点。
1
设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 是连续函数。(1) 利用定义证明函数 [tex=7.357x2.643]wj19iVziwhcddHoSbOeZ53gjMBxjQAH/PcfTSpadvE0UnkPwDslb00HFtKYkgM9X[/tex] 可导, 且[tex=5.5x1.286]aioBMzvqzBeZ8o5EjtXw19ELszAjdIRruviyhqqX+L4=[/tex]；(2) 当[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 是以 2 为周期的周期函数时, 证明函数 [tex=13.786x2.786]Vhx2KvWIsGdQGZadW3if7acVl7IXSwWOwcV1slKNUnHQ+aZuky9CS29QEB/7qIHsr9w3YIYs6RJhvITWAy2vjHKGtDLy8R6Pbmh6BDCQrkk=[/tex]也是以 2 为周期的周期函数。
2
证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]单调，且[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]取到[tex=3.5x1.286]jf4KYTqBi/2JKJP0u55qBg==[/tex]与[tex=3.429x1.286]PdwADi/W7zeYvYZrdNxghQ==[/tex]中间的所有的数，则[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]连续。
3
列表对比下列的定义及其否定叙述:1) [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=0.929x1.286]D0SjfA4tfMuU4WE/2xYU+g==[/tex]是偶函数与不是偶函数;2) [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=0.929x1.286]D0SjfA4tfMuU4WE/2xYU+g==[/tex]是周期函数与不是周期函数;3) [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=2.643x1.286]PGm4xHJaiwTHdGYen/RN9Q==[/tex] 是严格增加函数与不是严格增加函数;4) [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.643x1.286]PGm4xHJaiwTHdGYen/RN9Q==[/tex] 是单调减少函数与不是单调减少函数。
4
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]为定义[tex=2.571x1.286]XckExRdjqz3iek+HP2/+/g==[/tex]在内的奇函数，若[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.0x1.286]OPcYgOTchHxT49GCFhKNAA==[/tex]内单调增加，证明：[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.714x1.286]mwhOX88dqxfsc2gIQ+tUhA==[/tex]内也单调增加。