举一反三
- 证明:设[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex], 则有 [tex=2.571x1.071]cx+2xSos1xod7QXaYyONqA==[/tex] 的列满秩矩阵[tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex]和[tex=2.286x1.071]qxUBJkw5pHPFqpR4rHoDwQ==[/tex]的行满秩矩阵[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 使 [tex=3.286x1.214]2MpBj3HxuvgFGXLpO4ZTTA==[/tex]
- [tex=2.714x1.071]nCe3KjbN5N38t1r/7/3V+g==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的秩为[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]，则有[tex=2.571x1.071]O8MXxCyH82iQBjE8tUx7+Q==[/tex]的列满秩矩阵[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]和[tex=2.286x1.071]zXLE9Sy0lPfi6rhDrfbNLg==[/tex]的行满秩矩阵[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]，使[tex=3.0x1.214]InSRQVNnaVoKAJCKaKaLlw==[/tex]．
- 证明 :设[tex=2.786x1.143]sJiVcoTfEg/JbhJV/202TA==[/tex]矩阵 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的秩为[tex=0.786x1.0]3aIfIj/PvpRDhDMMRyp3Yw==[/tex] 则有[tex=2.571x1.071]v4dmMOo3Ht85R401A97p+g==[/tex] 的列满秩矩阵[tex=0.786x1.0]eh2CuRqBLsAEAbb2XRxaBg==[/tex] 和[tex=2.286x1.071]5AfSV6NTVwiHny+StJ+UCA==[/tex]的行满秩矩阵 [tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex] 使 [tex=3.286x1.214]Jxd8pQJL4d8RyMjmHZyNcQ==[/tex]
- 设[tex=2.357x1.071]0nq0b1fEFW/AV6tuzNPMsA==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为[tex=3.857x1.357]qXpz7Vckr31FXDcDaN2KhQ==[/tex]证明：存在[tex=2.143x1.071]rEyV9COcOO6bGHvQoT8WZA==[/tex]列满秩矩阵[tex=1.0x1.214]szVnMPaRHLo99rUmmmexUw==[/tex]与[tex=2.286x1.071]qxUBJkw5pHPFqpR4rHoDwQ==[/tex]行满秩矩阵[tex=1.143x1.214]33XDFahjdy1KHCYObeGaBg==[/tex]，使得[tex=3.714x1.214]M4XIxclCkO36b8kKPZybyg==[/tex].
- 一个矩阵称为行 (列) 满秩矩阵，如果它的行(列)向量组是线性无关的.证明:如果一个[tex=2.357x1.071]0nq0b1fEFW/AV6tuzNPMsA==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为[tex=0.786x1.0]oqR8O5ECXDp5f/4iM1EJLw==[/tex]则有[tex=2.143x1.071]rEyV9COcOO6bGHvQoT8WZA==[/tex]的列满秩矩阵[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]和[tex=2.286x1.071]qxUBJkw5pHPFqpR4rHoDwQ==[/tex]的行满秩矩阵[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]，使得[tex=3.286x1.0]y0QpTXNFx3ADRFNmRLSZAw==[/tex]
内容
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设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是秩为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, 则 [tex=3.071x1.0]gOXtqsUVQJgsp+QmYJZYJA==[/tex], 其中 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=2.571x1.071]cx+2xSos1xod7QXaYyONqA==[/tex] 矩阵且 [tex=4.429x1.357]add5zLXx5HYsqtXYRazw7g==[/tex] 是 [tex=2.286x1.071]qxUBJkw5pHPFqpR4rHoDwQ==[/tex] 矩阵且 [tex=3.5x1.357]y2PK6Mky7YxahgfnqXrZ5A==[/tex]
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设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, 求证:(1) 若 [tex=3.357x1.357]a7qAbmiLBFc3iSK33Jqg/g==[/tex], 即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是列满秩阵, 则必存在秩等于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 的 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex]矩阵 [tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]， 使 [tex=3.214x1.214]qFuOqB/J5YwAsAHomJYPyw==[/tex];(2) 若 [tex=3.643x1.357]NrKc/6u1O1LFs1JAil+zeg==[/tex], 即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是行满秩阵, 则必存在秩等于 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 的 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex] 矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使 [tex=3.643x1.214]zyEHVZjYzQ8SDWBlfQFbZA==[/tex]
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矩阵的列 (行)向量组如果是线性无关的,就称该矩阵为 列 (行 ) 满秩的. 证明: 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.571x1.071]cx+2xSos1xod7QXaYyONqA==[/tex] 矩阵,则 $A$ 是列满秩的充分必 要条件为存在[tex=3.0x1.071]3LQQzI0KJjG7PpCWpzfJEw==[/tex] 可逆矩阵 $P$ 使[tex=5.714x2.214]eR9l87oqe1iIu8PPK9rIIN+zg7zOUVo7eGSNI53/Oqz7RAz2X3OsnVlaBUHurWPS6TTelCVwUiPZ0wUDyONvzQ==[/tex]同样地, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为行满秩的充分必要条件为存在 [tex=2.143x1.071]zPRKwnulgPvDmSjL4DZxSA==[/tex]可逆矩阵[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 使[tex=6.0x1.357]12R7EUUsGy2G30Pqv9kmRoeGTZhlko1TZ/AigDV1f9E=[/tex]
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设[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]为满秩矩阵，[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为对称矩阵。证明：如果[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正定矩阵，则[tex=3.286x1.214]tfkJC0go85s+r+gIn+qVcQ==[/tex]是正定矩阵。
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一个矩阵称为行（列）满秩矩阵，如果它的行（列）向量组是线性无关.证明：如果一个[tex=2.357x1.071]QArHY/B/HPaeI4OFb8f5sA==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的秩为[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]，那么存在[tex=2.143x1.071]Rtxts52p4rdDLdHA6Amz2w==[/tex]的列满秩矩阵[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]和[tex=2.286x1.071]Ef3ubbPzNaK2nOISNr/qww==[/tex]行满秩矩阵[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]，使得[tex=3.071x1.0]hNGs1Px60d+kQ9QCRfyP3A==[/tex].