设[tex=2.357x1.071]0nq0b1fEFW/AV6tuzNPMsA==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为[tex=3.857x1.357]qXpz7Vckr31FXDcDaN2KhQ==[/tex]证明：存在[tex=2.143x1.071]rEyV9COcOO6bGHvQoT8WZA==[/tex]列满秩矩阵[tex=1.0x1.214]szVnMPaRHLo99rUmmmexUw==[/tex]与[tex=2.286x1.071]qxUBJkw5pHPFqpR4rHoDwQ==[/tex]行满秩矩阵[tex=1.143x1.214]33XDFahjdy1KHCYObeGaBg==[/tex]，使得[tex=3.714x1.214]M4XIxclCkO36b8kKPZybyg==[/tex].

2022-06-09

设[tex=2.357x1.071]0nq0b1fEFW/AV6tuzNPMsA==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为[tex=3.857x1.357]qXpz7Vckr31FXDcDaN2KhQ==[/tex]证明：存在[tex=2.143x1.071]rEyV9COcOO6bGHvQoT8WZA==[/tex]列满秩矩阵[tex=1.0x1.214]szVnMPaRHLo99rUmmmexUw==[/tex]与[tex=2.286x1.071]qxUBJkw5pHPFqpR4rHoDwQ==[/tex]行满秩矩阵[tex=1.143x1.214]33XDFahjdy1KHCYObeGaBg==[/tex]，使得[tex=3.714x1.214]M4XIxclCkO36b8kKPZybyg==[/tex].

答案：

提示：利用推论4：设数域[tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]上[tex=2.357x1.071]0nq0b1fEFW/AV6tuzNPMsA==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩[tex=2.286x1.071]vwBZduhCG27HY4OBeex6fw==[/tex]，则存在[tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]上的[tex=0.5x0.786]BgHR5DBWke5rTEC5XEckiQ==[/tex]级、[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级可逆矩阵[tex=2.214x1.214]5aRo/SjDjyrizmvlVf6b6w==[/tex]使得[tex=8.071x2.786]RDWFW00cnRAmjmeEeBH4tSJiLGpAjnMsyUIn5PsCivgnhY0dN3U1ALGBZfWRw8ir3IYISIcQs1blXhKfeDl5uFAjeKCu7rd2m6KCVvGP40c=[/tex].

举一反三

内容

0
证明 :设[tex=2.786x1.143]sJiVcoTfEg/JbhJV/202TA==[/tex]矩阵 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的秩为[tex=0.786x1.0]3aIfIj/PvpRDhDMMRyp3Yw==[/tex] 则有[tex=2.571x1.071]v4dmMOo3Ht85R401A97p+g==[/tex] 的列满秩矩阵[tex=0.786x1.0]eh2CuRqBLsAEAbb2XRxaBg==[/tex] 和[tex=2.286x1.071]5AfSV6NTVwiHny+StJ+UCA==[/tex]的行满秩矩阵 [tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex] 使 [tex=3.286x1.214]Jxd8pQJL4d8RyMjmHZyNcQ==[/tex]
1
矩阵的列 (行)向量组如果是线性无关的,就称该矩阵为列 (行 ) 满秩的. 证明: 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.571x1.071]cx+2xSos1xod7QXaYyONqA==[/tex] 矩阵,则 $A$ 是列满秩的充分必要条件为存在[tex=3.0x1.071]3LQQzI0KJjG7PpCWpzfJEw==[/tex] 可逆矩阵 $P$ 使[tex=5.714x2.214]eR9l87oqe1iIu8PPK9rIIN+zg7zOUVo7eGSNI53/Oqz7RAz2X3OsnVlaBUHurWPS6TTelCVwUiPZ0wUDyONvzQ==[/tex]同样地, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为行满秩的充分必要条件为存在 [tex=2.143x1.071]zPRKwnulgPvDmSjL4DZxSA==[/tex]可逆矩阵[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 使[tex=6.0x1.357]12R7EUUsGy2G30Pqv9kmRoeGTZhlko1TZ/AigDV1f9E=[/tex]
2
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, 求证:(1) 若 [tex=3.357x1.357]a7qAbmiLBFc3iSK33Jqg/g==[/tex], 即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是列满秩阵, 则必存在秩等于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 的 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex]矩阵 [tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]，使 [tex=3.214x1.214]qFuOqB/J5YwAsAHomJYPyw==[/tex];(2) 若 [tex=3.643x1.357]NrKc/6u1O1LFs1JAil+zeg==[/tex], 即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是行满秩阵, 则必存在秩等于 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 的 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex] 矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使 [tex=3.643x1.214]zyEHVZjYzQ8SDWBlfQFbZA==[/tex]
3
设[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]为满秩矩阵，[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为对称矩阵。证明：如果[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正定矩阵，则[tex=3.286x1.214]tfkJC0go85s+r+gIn+qVcQ==[/tex]是正定矩阵。
4
[tex=2.714x1.071]nCe3KjbN5N38t1r/7/3V+g==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的秩为[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]，则有[tex=2.571x1.071]O8MXxCyH82iQBjE8tUx7+Q==[/tex]的列满秩矩阵[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]和[tex=2.286x1.071]zXLE9Sy0lPfi6rhDrfbNLg==[/tex]的行满秩矩阵[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]，使[tex=3.0x1.214]InSRQVNnaVoKAJCKaKaLlw==[/tex]．