设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内可导，证明：当导函数[tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内有界时，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.214x1.357]5xj7kOKvswCRhlt6IgfwdA==[/tex]内也有界.

2022-06-09

设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内可导，证明：当导函数[tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内有界时，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.214x1.357]5xj7kOKvswCRhlt6IgfwdA==[/tex]内也有界.

答案：

证 设[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]为[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内一定点对[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内任意点[tex=0.571x0.786]q8alasyJjWIUZHYSwiX65A==[/tex]， [tex=1.857x1.357]QwcZRP/k6GQjt3RgosTUtg==[/tex]在以[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]，[tex=0.571x0.786]yPNTqDbsbi+W1HJQhfGL3Q==[/tex]为端点的 区间内满足[tex=12.5x1.429]dbVFk3pykM4GKsG7wPatRaG2RTxThXl+FpPYB4eivqMcxK7acAMMQgehTMWFWL04slM0aO/hZwArZKi9lkLfQaGoupKJ2U8CyOh2S7WVrl0=[/tex]，其中[tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex]介于[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]与[tex=0.571x0.786]yPNTqDbsbi+W1HJQhfGL3Q==[/tex]之间.[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]，从而[tex=18.429x1.429]CVNVtM25okJ33KG9tYQj3bxHTwZk/0UwZH+/wwMZVajgfKykhWV2kLneOmZS1D6tnI4EC5vgHvzVc1N9ORHIbJLf8CV24lMj1dp7ObCMiqapTObCIXyqgeXD01aBcfzKcMVUBIBVI7gQkxtNDxTP7Q==[/tex]，于是[tex=24.786x2.786]9eRIAvm7DIRCsgrgQgGipd35i7KTYHh40eqgzh6NrHIzTeXQ0VNg1kQQcMGtfhhYOcUP8AnkuGRZ8hU4GibAyLxk4oN7OodqUZxtVfyNSiglewWfBNITaDF9wrtDZrNAefybDTZ1ilAjucixrM8EQGXEct6sgx4qyBPibCrlLjqaKPj2bh2/LHuf2BlJ0EXJAiCylDpdxBDOVAziw3J2B3xD6I6/W0iKRS1Cc+IVw/wcZsvIOTgexiRnIbxV8WTQhTAiWYAB2u1Bv9SP/6GNQA==[/tex]取[tex=10.214x1.357]MGL+UcqhG0BrkpO9hP8a7Q+6HQ1uXOk30TYqLff6f61n9VF1ihSID7/W8xuWUZKc[/tex]，则[tex=4.571x1.357]tSEkNE8F2qWcF+cV2SEdUR0V0QgUWnf4WxkPPrnFuFk=[/tex]，均有[tex=4.714x1.357]JLWJsQRkeNBXMqf0vx0Gsk7gUzBM8Tdb8iqN0ZEhYog=[/tex]，即 [tex=1.857x1.357]QwcZRP/k6GQjt3RgosTUtg==[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内有界.

举一反三

内容

0
若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在区间 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内可导,则导函数 [tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex] 在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内必连续.
1
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]J5pdOYo+31b9out4RyVbtA==[/tex]上连续,在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内可导且[tex=4.071x1.429]b+92QgRbOOnD+w8x5M9YxUhOvH3DJr/4nSQbdlWRDeg=[/tex],证明函数[tex=9.571x2.643]nvrFVxX1j11ULW4ha/NmQon1wTFHwPAcmPc86vSBZ6Gf7ayM4BEDThfV3V+irOD9[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内的一阶导数[tex=4.214x1.429]CzbyfntAv6grHDaY/5T8es9F5+q85WcOto3cuIUv528=[/tex]
2
设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续,在 [tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内可导 [tex=5.214x1.357]GxgUuh9z1onPI5crcORAtg==[/tex] 证明:在 [tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内存在一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex], 使得 [tex=9.5x2.429]niAtuUW6+h0Uvz2r65+6tRn/iqSWbT8eXxIUnVnzdbLcVUuxnA9eBzKN/ENSov1Q[/tex]
3
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]和[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续，在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内可导，且[tex=6.714x1.357]mMYUeNAe38X+/GvdLKmvRw==[/tex]，则[tex=10.0x1.429]BOXEzuhVMucQckW13ygVY8JTh2xCaqQTYWN/JsobNoDVoIPzlYS/nwzbAZk73+Oa[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内有解。
4
设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续，在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内可导，且[tex=3.929x1.286]0VLGTLK6v3MkNP58z7HiHRiYa+tAByiT7/p78X428Zo=[/tex]又设[tex=3.714x1.357]ZrYYIDqiFBMbvUsK36RHVw==[/tex]，[tex=3.5x1.357]+SeBOzX4aVjbR47kp1NWjA==[/tex]，证明：方程[tex=3.214x1.357]a0KviXBQihxXd5dfeZpD+w==[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内有且仅有一个根.