设[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想. 求证[tex=1.714x1.357]c0J1qGACk0Sr2NjEGUGvmg==[/tex]中素理想均可写成形式[tex=1.643x1.357]wpe9jfikO+e4oEWowiUmDw==[/tex], 其中[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中素理想而且包含[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]. 将素理想改成极大理想则此论断也成立.
举一反三
- 设[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]是交换环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中的理想, 求证集合[tex=15.929x1.286]x1n1yoXwvapsKx5EdV+pZfepyJxGrnlRGZn5VJJE3eA7ay6nv77Fo7YoCa5wTVi2SNJjJsw27jPyW7aiIeaTopq9BlO+UMTHGDWIZfNjHRr6wlshzmlapvqJxD2xIxo4[/tex]也是环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想.
- (1) 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为含幺交换环, 求证环[tex=2.929x1.357]6PWl/fP3j/y7kKn3SuUmlw==[/tex]中每个理想均为形式[tex=2.643x1.357]bIca31SPWWCVnjLQzUHuxg==[/tex], 其中[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的某个理想.(2) 若[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为域, 则[tex=2.857x1.357]9mjonrKL5MA/BYFXOHU6Cg==[/tex]是单环.
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是主理想整环, 则[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的任一非零素理想均为极大理想.
- 设[tex=3.286x1.357]x8zWpNlQz6MxAw4It7U4VQ==[/tex]是一个非空的环族, [tex=4.214x2.786]n+9jhCdGVGlsoml4WMLejt/t+lpL1PxanQsZ3zBoRgM=[/tex]. 求证: 若[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为含幺环且[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]有限, 则[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中理想[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]均形如[tex=3.857x2.786]TkMowhol2YF2CMtISyKA2rZQ+cTEKQhvPBkjerAg9IE=[/tex], 其中每个[tex=1.0x1.214]s69fD1NAbV4FFrDyPMrOJg==[/tex]是[tex=1.0x1.214]xO14QYQ0B3qeA3bSoTef9w==[/tex]中理想.
- 例说明，一个无零因子环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的商环形[tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex]（[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]为[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]理想）可能有零因子。