例说明，一个无零因子环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的商环形[tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex]（[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]为[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]理想）可能有零因子。
举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是有単位元1[tex=2.214x1.286]LdfxmbZO/dkwxLsA+hGMZA==[/tex]的环，证明：[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中的可逆元不可能是零因子。
- 设[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]是交换环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中的理想, 求证集合[tex=15.929x1.286]x1n1yoXwvapsKx5EdV+pZfepyJxGrnlRGZn5VJJE3eA7ay6nv77Fo7YoCa5wTVi2SNJjJsw27jPyW7aiIeaTopq9BlO+UMTHGDWIZfNjHRr6wlshzmlapvqJxD2xIxo4[/tex]也是环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想.
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环, 集合[tex=17.429x1.286]1J1SivOWW5Z2LFlO+jxfjuA8rlk01xIOptZycDH6fm7g7o5b+NKM1GTrN/gR+I5wjUgevTCj5VTmWN/Pgsy1UA==[/tex]叫做环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心.[br][/br]求证[tex=2.286x1.357]jF3SYJxDJgm6KahDCZyxrQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的子环, 但不一定是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想.
- 设[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想. 求证[tex=1.714x1.357]c0J1qGACk0Sr2NjEGUGvmg==[/tex]中素理想均可写成形式[tex=1.643x1.357]wpe9jfikO+e4oEWowiUmDw==[/tex], 其中[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中素理想而且包含[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]. 将素理想改成极大理想则此论断也成立.
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为无零因子环 ( 未必有单位元 ) 且满足[tex=5.143x1.214]2gPPNnaIkNQoH34iScPRrLxFkfXftWe49txSULc9tDk=[/tex], 其中[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素数. 能否将[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]嵌到一个无零因子的含幺环[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中, 使得[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的特征为[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]?