设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是主理想整环, 则[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的任一非零素理想均为极大理想.

2022-06-03

设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是主理想整环, 则[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的任一非零素理想均为极大理想.

答案：

设[tex=2.714x1.357]1e+VUnhOkUehWfOSdtfsKWqdfFF5LqsALdQXfdhXCRM=[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的非零素理想. 若[tex=3.286x1.357]ArfSGvA+4YdNumLFLMbIC3zjhwXJGqii/S8qQB3nP0WqYJCnTlXb297ORPCP+nTT[/tex], 则[tex=1.929x1.357]cyeX9n4tcYLGKI0bVT1U1w==[/tex], 即[tex=4.571x1.214]hv+fhYwYyv9rMfYmXjjUQA==[/tex]. 令[tex=6.071x1.357]dQSKN7UtYfFv2XbzjrN9hhc4qjXkmQSu5FkJg7QhIdwjhUy+kmnye5LkE6N4omzD[/tex], 则[tex=9.143x1.286]UjhxDpzlbTjUCrlebybUITYXPoy7GRHhJ4Jlkj7/2duzycLd06Iq0XIvVz+XVYOC[/tex]. 由[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]是素理想知[tex=2.857x1.286]mgYxzou7IrA6gusnRd2zyn6kI7K6ni1KUjz+PRvmqus=[/tex], 即[tex=1.786x1.357]OLfh/NM0e0sW7H//r3an0w==[/tex], 即[tex=4.5x1.214]STDYGEKvZGzKImDvb1pTQg==[/tex]. 于是[tex=5.429x1.214]QAQNxbJmL8n4ZYJNQBnGSw==[/tex],[br][/br]即[tex=2.857x1.357]QoAz1x4KiSexz9hRYqIrcMZAkhm/imgUAN30gxrq6Zw=[/tex]. 这就证明了[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]是极大理想.[br][/br]

举一反三

内容

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设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环, 集合[tex=17.429x1.286]1J1SivOWW5Z2LFlO+jxfjuA8rlk01xIOptZycDH6fm7g7o5b+NKM1GTrN/gR+I5wjUgevTCj5VTmWN/Pgsy1UA==[/tex]叫做环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心.[br][/br]求证[tex=2.286x1.357]jF3SYJxDJgm6KahDCZyxrQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的子环, 但不一定是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想.
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求证:(1) 若[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是主理想整环, 则[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的每个同态像也是主理想整环.(2) [tex=8.357x1.357]C3Weq6HRVeot5NeVvWaOX/dsxiuHRe8nl60JZDCW+mk=[/tex]是主理想整环.
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(1) 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为含幺交换环, 求证环[tex=2.929x1.357]6PWl/fP3j/y7kKn3SuUmlw==[/tex]中每个理想均为形式[tex=2.643x1.357]bIca31SPWWCVnjLQzUHuxg==[/tex], 其中[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的某个理想.(2) 若[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为域, 则[tex=2.857x1.357]9mjonrKL5MA/BYFXOHU6Cg==[/tex]是单环.
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设环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的加法群同构于有理数加法群[tex=2.786x1.357]wxRinP9O3D957hLgNIT7FA==[/tex], 而乘法则定义为[tex=6.071x1.214]JAE4m334mjLB5CvX58xkcsSH3c2/Ez8iBXkzWMFy0m0=[/tex]. 求证[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]没有素理想和极大理想.
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设[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个非空子集. 证明: [tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的全体左(右) 零化子作成[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个左(右) 理想. 称其为[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的左(右) 零化理想.