设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶奇异复矩阵但不是幂零矩阵, 求证 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于下列矩阵:[tex=5.0x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vH23NHniMlEwXxHZzPyoM7wGtHPfHuUKUfQduivoh2saWB5iDW+hBFaG9wzMvmDk1Q==[/tex],其中 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是幂零矩阵, [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]是可逆矩阵.

2022-06-07

设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶奇异复矩阵但不是幂零矩阵, 求证 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于下列矩阵:[tex=5.0x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vH23NHniMlEwXxHZzPyoM7wGtHPfHuUKUfQduivoh2saWB5iDW+hBFaG9wzMvmDk1Q==[/tex],其中 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是幂零矩阵, [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]是可逆矩阵.

答案：

证明 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是奇异矩阵, 因此有特征值 0. [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的 Jordan 标准型中有部分块的主对角线上的元素为 0 .将所有这些块都移动到一起所组成的矩阵记为 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 显然 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是幂零矩阵. 将其余的 Jordan 块组成的矩阵记为 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]. 因为 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 中每一块矩阵的主对角线上的元素不为 0, 故可逆, 于是 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 也可逆, 这就证明了结论.

举一反三

内容

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设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]都是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，证明，若[tex=3.286x1.0]B5kng4RQ4+wxoF4j9jMkfg==[/tex]，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]互为逆矩阵。
1
设 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 与 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]相似， [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 与 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 相似，证明分块矩阵 [tex=5.0x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vM9J1HeI3B/5eLTbq3L1ig3M5JgMOMupMMqkQooOC50aXz1JjrxFkNMDENUbvLdw3A==[/tex]与[tex=5.071x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vG/U1MtXZjG8mnizG60/cpakXkd3EsozCNXC1uEDkoAivP+EUe1SPXaXnvDSq26Paw==[/tex] 相似。
2
设矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶可逆矩阵, 求证: 只用第三类初等变换就可以将 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 化为如下形状:[tex=9.0x1.357]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr834Za1G+HR36KzBQZaQzYq4C1+MDFYLpmIw3JeJc5UMcta+bf6Ji2H5XlgCCBFznh8Q==[/tex]
3
设 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 满足 [tex=4.643x1.143]RZ1Dos2YP5I4P3SxFbkTXw==[/tex], 求证: [tex=2.429x1.214]WFN0ypFTz1OR82mkwSrCXA==[/tex] 是可逆矩阵且 [tex=4.143x1.0]4EGwtNPILOTkGljLrP4Ukw==[/tex]
4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 适合下列条件 ( ) 时, [tex=2.429x1.214]w0DJAkqgaLBmdaL0DbtIKg==[/tex] 必是可逆矩阵. 未知类型：{'options': ['[tex=2.643x1.0]T6KgxyahhCNAGhkx/jtGQw==[/tex]', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是可逆矩阵', '[tex=2.643x1.357]ynAnlsS4a0FhNAU9AfGT6A==[/tex]', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的主对角线上元素全为零'], 'type': 102}