设函数[tex=3.857x1.214]InKUpi6cxupw+BnDNOM0bPzGUtUpclRJyzbVU77wJf8=[/tex]在有理点上取值为无理数，在无理点上取值为有理数。证明：[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]不为连续函数。
举一反三
- 证明 : 不能在 [tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex] 上定义如下函数 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex],它在有理点上连续,而在无理点上不连续.
- 设[tex=3.857x1.214]InKUpi6cxupw+BnDNOM0bPzGUtUpclRJyzbVU77wJf8=[/tex]为连续函数，且[tex=3.143x1.071]jbxPDqaptjxuY9xhjQQHm6F1OE0YQqqXgz9/arAiLVs=[/tex]都为[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]的极值点，证明：[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]为常值函数。
- 构造一个可导函数[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]，使[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在有理点处取有理数值，它的导函数在有理，点处取无理数值(这个例子是由[tex=3.214x1.214]vuDFvmmqttzH7vbxx7IFJg==[/tex]作出的，参阅[14])。
- 设函数[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]只有可去间断点，证明：[tex=6.143x1.786]KPasMARXR29fctfxQzsk0wbr87N0OwGNzI7+TSuP6eI8lLxerxJ1UVv+8PbBzAmw[/tex]为连续函数。
- 证明在[tex=1.857x1.357]O2qlpx7tO/TSEyhjah3w7w==[/tex]上不可能定义一个如下的函数,它在每一个有理点连续,而在无理点不连续.