证明: 函数[tex=7.643x1.286]wFUaEn/dvprJfoLiCI8QrpQJ3YxogvATZtHy+tCzfBI=[/tex]在原点处的两个偏导数都不存在，但函数在原点有极大值。

2022-06-07

证明: 函数[tex=7.643x1.286]wFUaEn/dvprJfoLiCI8QrpQJ3YxogvATZtHy+tCzfBI=[/tex]在原点处的两个偏导数都不存在，但函数在原点有极大值。

答案：

分析 关于[tex=0.5x1.286]asctJDWpGaq/ETe64ANZ1Q==[/tex] 在原点处的两个偏导数，直接由定义可验证不存在。 [tex=0.5x1.286]asctJDWpGaq/ETe64ANZ1Q==[/tex] 在原点处极值问题可以由极值的定义判定。证 记[tex=5.143x1.286]YqE2Dt4SMU9kkPOzJzH2J6VnqBD0pvevQL4aKxE6hi8=[/tex]， 则[tex=25.143x2.857]MqOfsQLAB/zeVSdv1WggGP/8ImYsCrL4mENpKvyIKvB8tsEIRVLjI+83M5QRnxKtFD1qBxhfaoCpxsaZro8UZS2KIfzw1aXAMgzzfZIVYhTZqMpkGdIaXHxLm/uaV8UlxP1X2031SA1I91Y9h2MIh/7DAUXZKUOx0wki76LePSG47HIYEizfoaXQr01lagJzUVfltzj/3/QaJjTIrcxXHk/ZXlV+voH/dCSWqoBfObU=[/tex]。可知[tex=12.857x2.071]MqOfsQLAB/zeVSdv1WggGA4QidTxsnyzUjoqHOV4qnjNBbRrVivrFC7bXZI9Um0pUdOriCQPiejB3N6wds7yjU5+02kCPKIzRcN8xJhLFe0=[/tex]，[tex=12.143x2.071]MqOfsQLAB/zeVSdv1WggGGw4pP0+g8Nk93n+v3nXFGjjXA7EoExTOsGw07jVxCp0cDFo1zmonixL9rDp93ewhw==[/tex]。因此 [tex=9.714x2.071]MqOfsQLAB/zeVSdv1WggGP/8ImYsCrL4mENpKvyIKvB8tsEIRVLjI+83M5QRnxKtiUQ/XAsRY5GnubJnkfCrDQ==[/tex]不存在，即[tex=0.5x1.286]asctJDWpGaq/ETe64ANZ1Q==[/tex] 关于[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 的偏导数，在点[tex=2.643x1.286]7FmujP6G7KhvOdFhc7hpbQ==[/tex]处不存在。相仿可证[tex=0.5x1.286]asctJDWpGaq/ETe64ANZ1Q==[/tex] 关于 [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]的偏导数在点 [tex=2.643x1.286]7FmujP6G7KhvOdFhc7hpbQ==[/tex]处不存在。 由于[tex=5.071x1.286]hq2lUqag7n9JFmXMYBzr3w==[/tex]， 当[tex=4.929x1.286]AVIDnoqd92uSIDv1IY+aYDjkz//2YKQti1ezY/LXp8c=[/tex]时，[tex=16.714x1.286]E/IdhlJYrR/dItdKLK1MvFK2/EY07otsG82jc4l3/kxYw1/3kRD0k86ugnYQO/ZG[/tex]，可知 [tex=7.643x1.286]wFUaEn/dvprJfoLiCI8QrpQJ3YxogvATZtHy+tCzfBI=[/tex]在原点处取得极大值。

举一反三

内容

0
试构造一个函数[tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex],使其在原点处沿任意方向的方向导数存在,但在原点不可微.
1
证明 [tex=5.0x1.643]om0DX395gcXIzo/bROmkuc3kRQGKXrkpeZDUn75g2zc=[/tex] 在点[tex=2.071x1.357]/B4OpizC+GWNmgu3h9VMGQ==[/tex] 处连续但偏导数不存在
2
证明：函数[tex=5.929x1.357]kubaPNy9ZqCyZoo2/Sm6f3B3WOcSZvhmOlecCu37HBw=[/tex]在[tex=1.857x1.0]3eSlq+W5GTl4xGu7dhqzgw==[/tex]处二阶导数不存在.
3
试明函数 [tex=7.143x1.643]otvMV7SFy5yh8oW3fhdSdZ6zQJVs4pOK5cHEBGEQsDE=[/tex] 在点 [tex=2.286x1.357]sVCzP1QNUT517zJi7AAZqw==[/tex] 处连续，但在 [tex=2.286x1.357]sVCzP1QNUT517zJi7AAZqw==[/tex] 处的两个偏导数不存在.
4
函数的连续性与偏导数存在性两者互不蕴涵。（1）证明：[tex=13.071x3.5]tqf9CQxSPJ+vzRKl7OfAPwOFEVPvBpKQEeU+FXULDU0rmqSzbBecWByQrM6WMnEhOpRkzw4i0NMCL66HgBtwHNZOETWDcLsLm2nvESc7xYdxU1qpkNxJHh/ZLpYhpxDpl3FFtsNNW+o9ONQs/BKkhMzW+OHv2KkYpXr2XvzMXzE=[/tex]具有各阶偏导数，但在(0,0)处不连续(此例由[tex=2.286x1.286]xKjnHuMFgVg4S0EkAvMdMg==[/tex]作出)。（2）证明：[tex=14.857x4.5]3hRmRrUJOhe4GuvitGjZ3LCuDVr1Z6WdsUcr7PQPj2luEPCzq4IYuReiVc88SWtNv8pgMahe4zO8x+pM5I8vEh9dvuRRhweNMChQqZtknFX3UfJHw0zw3H8/oUrcXAUj8gtwpsBoJsmNHBCW1q/Ld5dbK5vO8bV4osJRWWKLEr5IMjWUIKudXm1o2s5/vghe[/tex]具有各阶偏导数，但在(0,0)处不连续(此例由[tex=2.429x1.286]ujSKYrI/JTQj/vk9LMP2Eg==[/tex]作出)。（3）证明：[tex=7.143x1.643]otvMV7SFy5yh8oW3fhdSdZ6zQJVs4pOK5cHEBGEQsDE=[/tex]在全平面连续，但在(0,0)处两个偏导数不存在。