设群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中的元素 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的阶为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex], 证明: 对于任意 [tex=2.643x1.214]0cVYxr9vOS4008SoQ64z7K5U3Sluqjf7ornR1de2PAk=[/tex], [tex=0.929x1.0]gBb4oMysZsKC851WOUp32w==[/tex]的阶是 [tex=2.571x2.429]MEN4zXFByHPoi/B5wkupZ1LFNL4Evk4GsC0+ZyhCWd0=[/tex], 其中 [tex=2.286x1.357]U4zNANCTqXCpkXXDXzi3aA==[/tex] 为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 与 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 的最大公因数。

2022-06-08

设群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中的元素 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的阶为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex], 证明: 对于任意 [tex=2.643x1.214]0cVYxr9vOS4008SoQ64z7K5U3Sluqjf7ornR1de2PAk=[/tex], [tex=0.929x1.0]gBb4oMysZsKC851WOUp32w==[/tex]的阶是 [tex=2.571x2.429]MEN4zXFByHPoi/B5wkupZ1LFNL4Evk4GsC0+ZyhCWd0=[/tex], 其中 [tex=2.286x1.357]U4zNANCTqXCpkXXDXzi3aA==[/tex] 为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 与 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 的最大公因数。

答案：

证明: 设 [tex=3.571x1.357]BGQsidwlPEo5taA21NUFmg==[/tex], [tex=2.857x1.214]1zT1ZNscu1xB4dbvI3mUIw==[/tex], [tex=2.571x1.214]0P00tYrVDntIJCM4dcGJXw==[/tex],[tex=2.929x1.357]SarOA2qzPgA2vkmzRfcdbTpbTmstJScX3iMRokE7yAw=[/tex], 则[tex=4.429x1.357]n23rk4wa2kNVa1Fu+ZVyUD9z9A+Y1OcMzomdnp6jLE8=[/tex],且 [tex=4.429x2.429]MEN4zXFByHPoi/B5wkupZ9RvbxVi3i4Nz+Vghu9lbYE=[/tex]. 因为[tex=8.357x2.357]bcd98+S2vV7WPDNPE+d1lWI6ZchnAdSsMj1Z2aGAFg1Wx7cXfyMAjJ1w1LzwZy3a2UeUt+IbHy2A+V+HX24m7KtjmN7lXjbqhPh4Im2NJIGDCDMtHLv98S0d4Af1TXHD[/tex][tex=6.357x1.286]1WV4hy0mcI3GKZMppnaVfVezW7z7ark5XGPNGjK45DI=[/tex],有[tex=1.786x1.357]BICzubuHcOD3rc7D4cEe1Q==[/tex]:反之, 由 [tex=5.5x1.571]bcd98+S2vV7WPDNPE+d1lf4Y/ynzT5DcWuKoS1hRipxRsTwHhp0qbnVoYSeKbDi5[/tex], 得 [tex=1.857x1.357]a73yywnEwJbTSwrX5YKpRw==[/tex], 即存在 [tex=2.429x1.071]8OHL/FGI/6A2sQyZo8pm2veVpjXIhCyHzcThpUEPAMM=[/tex], 有[tex=9.214x1.214]Y125Fwq2zccVIkrtrkJrCMGo6D1GT/DXYV+TJrewAnI4ekDirQ7s1AZlc3AoAlpJ[/tex][tex=4.786x1.214]jeU3MbHRshkbcKwQR3c1Rlo0+uXrZ3Tex/LM5/xKFaU=[/tex] [tex=3.571x1.357]jeU3MbHRshkbcKwQR3c1RmGXJSERHI0EzATyxgC2bMU=[/tex],由 [tex=4.429x1.357]n23rk4wa2kNVa1Fu+ZVyUD9z9A+Y1OcMzomdnp6jLE8=[/tex], 得 [tex=1.786x1.357]lPRsUE5XpS56z89iEhuCPw==[/tex].综上所述，我们得到: [tex=5.714x2.429]MEN4zXFByHPoi/B5wkupZ3mCVX/dz2hOvDpWllf3TcA=[/tex], 即 [tex=0.929x1.0]NcHr2jMtiiHYOWdCIwFGZg==[/tex] 的阶是 [tex=2.571x2.429]MEN4zXFByHPoi/B5wkupZ1LFNL4Evk4GsC0+ZyhCWd0=[/tex] 。

举一反三

内容

0
对 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的不同值，分别求出循环群[tex=1.143x1.214]StMMJ6qThnpokZJIPGrdFyP3vrLnUdltYxmLxjw8za8=[/tex]的所有生成元和所有子群。(1) 7; (2) 8; (3)10 ;(4) 14 ; (5) 15 (6) 18 。
1
设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵集合到 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 的一个映射, 它满足下列条件:(1) 对任意的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=11.857x1.357]PyBoS3zBK0M8dFy5nc2BCQAjvq9LapSCVSEPLvCboCNL9Sf89YDDNJnh9P6XU+Xa[/tex](2) 对任意的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 中数 [tex=7.143x1.357]ZssA/FjDDGKlA7//o6lvBHjGIYzZWXwRor3cGphMPPA=[/tex](3) 对任意的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=9.071x1.357]CV7XimFyNvpshBoHaexhcrFdFwXW4pEFstEvGviliLE=[/tex](4) [tex=4.143x1.357]mTjc3HPxil5qpbqmEffFWqjszfkzs0w4AuinGz3AXRg=[/tex]求证: [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 就是迹, 即 [tex=4.714x1.357]abvMETy3K96uBRzmzh1OP8sPIldqFdFpE5NVrVc0Ciw=[/tex] 对一切 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 成立.
2
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶正定矩阵，[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称矩阵，证明: 存在[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶可逆矩阵[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]，使得[tex=9.143x1.429]XRMmUOtjtKMyseaeIn9jPM1TnNKlMhqAAioUZ3jWn/FX+SyCCFosC01uB/CWa/Kl[/tex], 其中[tex=0.714x1.0]AiT6fhT2pvop+UvpD2oClg==[/tex]为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶对角矩阵。
3
设 [tex=3.143x1.214]3gIdpTIyuAXNY2Pw89Jsdg==[/tex] 均为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵，且满足 [tex=4.071x1.214]v6+XAb7ReMobqW2BH2aYXA==[/tex] 则下列各式中哪些必定成立，理由是什么?(1) [tex=3.786x1.0]6cw1RuqJkBXFdulJ8v2ouA==[/tex](2) [tex=3.786x1.0]ulJ8FbACDzd3YjqXAnu12A==[/tex](3) [tex=3.786x1.0]N9UM5G9eNENvufQSHxB34Q==[/tex](4) [tex=3.786x1.0]uVwiB6kcTxJz2l3rWiCGtg==[/tex](5) [tex=3.786x1.0]gVZnpPNL6x3orzSkcv+qew==[/tex].
4
假定 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 生成一个阶是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 的循环群 [tex=0.786x1.0]4swj+MXBfXw/BCBdKDogfg==[/tex] . 证明 [tex=1.071x1.143]/q4P6KJ79H/rQgDlRNc/Ow==[/tex] 也生成 [tex=0.786x1.0]4swj+MXBfXw/BCBdKDogfg==[/tex]，假如 [tex=3.786x1.357]Zy7KVEppdaeJuHrK8RiaAw==[/tex] 这就是说 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]和 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 互素).