试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 定义在可测集 [tex=3.357x1.071]N9m+uQveFyIaAl7YOqTjMf+0L1vbyIMb/wQ2HJ3j7+k=[/tex] 上.若 [tex=2.357x1.5]lFYFwE5lpxh9RCcHJ7RIYg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]上可测，且[tex=6.929x1.357]t8HWzjC8vbBPniXHvr8BeEdNFqTYQBUSv5X1HBPUiO4=[/tex] 是可测集,则[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex] 上可测.
举一反三
- 设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是可测集[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]上的可测函数，[tex=3.214x1.214]n/FWacfElP9kz2kQ9RVIgQ==[/tex]可测，则[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]也是[tex=1.143x1.214]T4nTAteHkBqm9ExuFPG05A==[/tex]上的可测函数。
- 设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是可测集[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]上的非负可测函数，试利用定理1. 3 证明(2) 若[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]还是有界的，则存在非负上升的简单函数列[tex=2.143x1.357]6neFUXQSMEb2KdQQeK7LqQWMvIZETs9PtatB8HA02Rg=[/tex]， 使[tex=2.429x1.357]sMlw5nJcocmSMNK7l2GI9w==[/tex]在[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]上一致收敛于[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]
- 设[tex=1.0x1.429]SSzoT2diVnhrclDKvnPeuA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]上的可测函数，且[tex=3.857x1.357]4K43rWEMQrc2tmfUzznL4Q==[/tex]是可测集，试证明[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]是[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]上的可测函数。
- 证明: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上为可测函数的充要条件是对任一有理数 [tex=4.5x1.357]dORuMWU4EEcJnsmt9iONNA==[/tex] 可测. 如果集 [tex=3.071x1.357]U0p48pzuCHXcA386BHQAFA==[/tex]可测,问 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是否可测?
- (3) 设[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]是可测集，[tex=5.5x1.357]j53N4q7YYwG0GurwgALYiDk8TXSwtIleUIzTwzx7Jbs=[/tex]是[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]中的一列可测子集，且[tex=9.429x1.357]14cSG+ph//2PChxVIlBu+xnzd3R9NlL4Q0nlHC+eYbc=[/tex]，试证明[tex=6.714x3.357]89WebhnUKXYvw8ZAapn8Krvgyh0JsU5cmzwU4fyxp162biIZ3nq6bo9w6kNZRX3j[/tex]