设[tex=0.714x1.0]VkfVn2nqVgRpP58Qb+BUWQ==[/tex]，[tex=1.357x1.214]hje+44pTBmSE2inkpKUcRg==[/tex]，[tex=1.357x1.214]ztgeeoEuax7xCxL39pAmeA==[/tex]都是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的子空间，证明：[tex=16.714x1.357]n16PaK/ZPpdX+SqWLpR0qU4eCJSwDMg7HjElIwfdrEAOhkzonnwZC9mHyVOLXCCnmVOfBivNa9h4C+VDC/Ock/L5idbFfvo2lIZU6rCzyBxIb5DHbnaFrbgcGig95WWy[/tex]。

2022-06-09

设[tex=0.714x1.0]VkfVn2nqVgRpP58Qb+BUWQ==[/tex]，[tex=1.357x1.214]hje+44pTBmSE2inkpKUcRg==[/tex]，[tex=1.357x1.214]ztgeeoEuax7xCxL39pAmeA==[/tex]都是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的子空间，证明：[tex=16.714x1.357]n16PaK/ZPpdX+SqWLpR0qU4eCJSwDMg7HjElIwfdrEAOhkzonnwZC9mHyVOLXCCnmVOfBivNa9h4C+VDC/Ock/L5idbFfvo2lIZU6rCzyBxIb5DHbnaFrbgcGig95WWy[/tex]。

答案：

证明：任取[tex=10.071x1.357]z9hRN/dfPaHwpLPyF7Gr1yYLjcwlmptGMwiWqzWgk4xBL7kC7l1I87IWiKA94o01Ola3RAXCjl/bi8PlX1nSbw==[/tex]，则[tex=7.143x1.214]xFZ6obYyx7zUU8TWOAEMQIwgBevf9BfaANfZ8LX9W/89fcb0AkJd/M6JhC9XxdzPCZW0EPC4hL3FNkv8KCTdBA==[/tex]，[tex=5.143x1.214]Iz3qhfybnz3enoeBgXZL956NyCMjoww+hInlPZw3VboghFGutRfv8aCzI3Ck2va0[/tex]，[tex=3.357x1.214]LlVx9hFMiOAy72eND7Ok6iYSLjoHqyz36AqmGk/a0aU=[/tex]，[tex=3.357x1.214]7sIwzL5twRvZBSvJmfKOQNGYbfVbvcdCP3NNfhPDz7Q=[/tex]。于是[tex=14.0x1.357]uAaKiNj9DlEiq7Z4JpwKByzks2juX/pTINset0qBdEgYA4s4U7mJU/0nzkCUEZpddQ1zFqX7bs0FiH3KMD2qsgHw5lTR6YtzsgzFfpcM6xttj1eDkDgFlN3Cv9y1hYIl[/tex]，因此[tex=9.429x1.357]BNYT6st7zqbeUTfd5wp12PGXmIE0ZR9NIu2ECnz85ojDMNQjpKBuE2p2YbC0OqoP[/tex]由此得出，[tex=17.143x1.357]n16PaK/ZPpdX+SqWLpR0qU4eCJSwDMg7HjElIwfdrEDuXHX0VDaf5y+VZUFaHHfEMySZweaStHXdSh2W16Toe/U6v3Ow/H3q5Sqw2Nki5XV9gWCihPUTB0WndOKU6p4R[/tex]。任取[tex=9.357x1.357]62CnDdAZxqASjPqDbz1NXbjnqhZKSdYeHH7+kHllfCu+PJzrr0g/1DrWKXfI+6IP[/tex]，则[tex=3.143x1.214]B66USrAyE0nsKZRyDGmpkQzZgenD/2cLn+lWl1z9q2s=[/tex]，其中[tex=7.643x1.357]Xeuhugg+nhY//vCNOX3AUSpItPrScVKDeM5NWvjM92nVE/I8X9VhlpdJmCi36SJB[/tex]。于是[tex=3.714x1.214]GtMn//smyb84GPYNEcsn0kz2x6AN6n2bkHtmsBVydiE=[/tex]，[tex=2.786x1.214]CCsM6ko/fSclUbefPj+s2xMLWX4Yp6b4t8zzOrR02bI=[/tex]，[tex=3.357x1.214]LlVx9hFMiOAy72eND7Ok6kZkiyPXdAGLEQDbJeS3nKg=[/tex]，因此 [tex=9.071x1.214]Libpr9lWIORF7qLp5oN5CahZpH18Q3JvFHdITRx+jD5oL9MFCq8jVK/Poh01tR987cWNbIoat3FXZEHun66vQA==[/tex]，且[tex=7.071x1.214]B66USrAyE0nsKZRyDGmpkXUFVMJ80cPbEYs3wM8Ymp+3l9YfgYkreU712RyndbwX[/tex]。于是[tex=10.143x1.357]F06/AVBu/4TTaFlPTaG+S0RaNL2+g2tnAF77S0JyuNYsLJXUdAPAOlxfPEKsRGXwNpzokZtMe0LzcIVASpj+5w==[/tex]，由此得出，[tex=17.5x1.357]5sok0j3P48eZirxKWMauHVwhH7q6CNLX1CZpWAQs0ZqSA4rAfY0qGGCVtLJna+8zBcDIlP1XKjPj9FQqAP9fT/8rX42lH4koIiyG+d03huUExOfsPHmb0TRj8iX0/XT9JV8vTCi0nnFxtDAiWg12Tw==[/tex]。综上所述得，[tex=16.714x1.357]n16PaK/ZPpdX+SqWLpR0qU4eCJSwDMg7HjElIwfdrEADsqz8YIoKEAvGqLLpuPVXxug3wNrIZJJX3PV5T8VpnklVc9WxmxjqDxhBKAkCIvM=[/tex]。

举一反三

内容

0
设 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 是数域 [tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 上 4 阶幻方所构成的线性空间，求 [tex=2.5x1.286]+xUVRiAQe0xHEuYC2z8BFQ==[/tex] 与 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的基.
1
设[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维欧氏空间，证明：(i) 如果[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间，那么 [tex=5.071x1.786]XY56GNRACVe6b2qd75bdLbEoOuqFoEbnmfTH9irME46lJ6iwlS1YWvk4vDNGYHBI[/tex].(ii) 如果[tex=1.357x1.214]GKMenh0m+y3HeiRY6A5A1w==[/tex]，[tex=1.357x1.214]ztgeeoEuax7xCxL39pAmeA==[/tex] 都是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的子空间，且[tex=3.929x1.214]mpMQ4Ru5iSHdEe8yWA+LnWVXOqkUqWcmSai3+gNB1u8=[/tex]，那么 [tex=4.714x1.5]mrXs+eTyKg7VSoADvWalB+kQwoBZHeA+tzspi3E5EsvhWlx5xmUKG2weRdhKfJai[/tex]。(iii) 如果[tex=1.357x1.214]GKMenh0m+y3HeiRY6A5A1w==[/tex]，[tex=1.357x1.214]ztgeeoEuax7xCxL39pAmeA==[/tex]都是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的子空间，那么 [tex=10.5x2.0]Ld8gFueB3cMfdhC3+TJi4YFbblYbGe5K+i0mxbGikXnY/TVGGjA38UTtHqpIwitd1OT/xbMJzLN5uSQyv2lyPVKL0T1K+Y7QTu2lcwERL2M=[/tex]。
2
设Y为拓扑空间X的子空间，[tex=2.857x1.143]NVnyOfFr6g+52w3PWMWtUw==[/tex]。证明：如果A是X的开集，则[tex=3.214x1.357]A5fpx1grvjGXknKAptjZSQj/Uched02zngkQag+eknY=[/tex]
3
证明：对于域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]维线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]上的任一幂零变换[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，都有[tex=3.071x1.286]Jv8SrBDAwmOGFLifG0aZ6A==[/tex]。
4
设[tex=3.143x1.286]W9AF7fR1WqhMGTtsETMyY3weIJPad4SLTOq9KrvSIVc=[/tex]是向量空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的子空间，证明[tex=3.786x1.286]CodcfJC5l11u2QacfGTUTvhCqQJBmY2d8mdiZi97mAE=[/tex]也是[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的子空间 .