设[tex=1.357x1.214]GKMenh0m+y3HeiRY6A5A1w==[/tex]、 [tex=1.357x1.214]ztgeeoEuax7xCxL39pAmeA==[/tex]是线性空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的两个子空间，证明[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的非空子集[tex=14.714x1.357]6nL/qxf68KXVUUmO+qjCaQ++Rd7t9NGfL/E2tCPdebVS+1nURGQlOM3epqeH1gyqoTSbH3+4VFLYsAm/wbwy/T1GqfTi2wyPemF64CYgODEXZAZ2cpI0D9se394laCRN[/tex]构成[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的子空间，这个子空间叫做[tex=1.357x1.214]GKMenh0m+y3HeiRY6A5A1w==[/tex]与[tex=1.357x1.214]ztgeeoEuax7xCxL39pAmeA==[/tex]的和子空间，记做[tex=3.857x1.214]1CZPLLWNxdeXS0vggfzNLA==[/tex]。
举一反三
- 设[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维欧氏空间，证明：(i) 如果[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间，那么 [tex=5.071x1.786]XY56GNRACVe6b2qd75bdLbEoOuqFoEbnmfTH9irME46lJ6iwlS1YWvk4vDNGYHBI[/tex].(ii) 如果[tex=1.357x1.214]GKMenh0m+y3HeiRY6A5A1w==[/tex]，[tex=1.357x1.214]ztgeeoEuax7xCxL39pAmeA==[/tex] 都是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的子空间，且[tex=3.929x1.214]mpMQ4Ru5iSHdEe8yWA+LnWVXOqkUqWcmSai3+gNB1u8=[/tex]，那么 [tex=4.714x1.5]mrXs+eTyKg7VSoADvWalB+kQwoBZHeA+tzspi3E5EsvhWlx5xmUKG2weRdhKfJai[/tex]。(iii) 如果[tex=1.357x1.214]GKMenh0m+y3HeiRY6A5A1w==[/tex]，[tex=1.357x1.214]ztgeeoEuax7xCxL39pAmeA==[/tex]都是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的子空间，那么 [tex=10.5x2.0]Ld8gFueB3cMfdhC3+TJi4YFbblYbGe5K+i0mxbGikXnY/TVGGjA38UTtHqpIwitd1OT/xbMJzLN5uSQyv2lyPVKL0T1K+Y7QTu2lcwERL2M=[/tex]。
- 设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是一个线性空间. 证明不存在 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的子空间 [tex=8.286x1.214]V3v2AV5osBVXASrik7p1qP5YQgFyLh+MAV9GfblcpgxTPul2076YW7XXVmUpP7LQ[/tex] 同时满足下面四个条件.1) [tex=2.071x1.286]bCbqR2I0HTkkebJOCx4ZjA==[/tex] 时，[tex=3.786x1.286]bnFMzfmD9gBM+NV8ZZ1AthkzpMHZFyH1mnhS7of3v7c=[/tex].2) [tex=13.071x1.286]sa5DaDp8NsBerpp4vbCr0sHn4kC/PIDNVTZfoO/niA9rK1RRsWzIgm7lCtzL4IEA2DJ4jLP6Y4IOU/vaQJ/IvozowIxY7E+Z3SR9i1Es8LI=[/tex] 仍在这五个子空间之中.3) [tex=16.214x1.214]cBqYP1ofv8BSCB5PZk0nNvaeTJfGLjfeOu2mX5gCg18cKh01/OJyfKOqKg1WUCBKBLVHfldDG0vqIj2zb5zaHCv6Pei31zBpSp+kkBzyYdET/aPAvwa9RWy7RNepmMHa[/tex].4) [tex=1.357x1.214]R0+mD4H4wS7x250ln3KFBg==[/tex] 与 [tex=1.357x1.214]dKWRis6qHZP8Q3dUZDtoPg==[/tex]，[tex=1.357x1.214]eb2b1GAGmmwihsGBIiMvfw==[/tex] 与 [tex=1.357x1.214]dKWRis6qHZP8Q3dUZDtoPg==[/tex] 之间无包含关系.
- 设[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间，且 [tex=6.571x1.071]ZyqBa4JfWRPKusGwA3PAKqa8sjPrakad+dZGuQBTVus=[/tex].证明：[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]中有不止一个余子空间。
- 设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上一个线性空间. 证明: 若 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是有限维的, 则 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的任一子空间都是某些线性函数的零化子空间.
- 设[tex=3.071x1.214]aKCzKguPwZrqT3KIz/rPig==[/tex]是向量空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的子空间. 证明: 如果[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间即包含[tex=1.357x1.214]GKMenh0m+y3HeiRY6A5A1w==[/tex]，又包含[tex=1.357x1.214]HuxVAzu3ALO7VHD6NLb6CQ==[/tex]，那么它一定包含[tex=3.429x1.214]ifviLbkXhk9ZstTD9lyHPA==[/tex].在这个意义下,[tex=3.429x1.214]ifviLbkXhk9ZstTD9lyHPA==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的即含[tex=1.357x1.214]GKMenh0m+y3HeiRY6A5A1w==[/tex]又含[tex=1.357x1.214]HuxVAzu3ALO7VHD6NLb6CQ==[/tex]的最小空间.