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  • 2022-06-09
    求证：级数[tex=4.143x3.286]3PXegz5bAQsuTODB0U8KrO8dE2QFyGzTKIgAWyUOAjW2NnK99u1z9bgI+kTvhzvW[/tex]在[tex=2.857x1.357]bxkuEf5OdjtfMlwpIXZhFYFm4mzHICAh/+PdGm82/Ds=[/tex]上发散；在[tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex]内绝对收敛且内闭 一致收敛，但非一致收敛。
    • 【思路探索】复函数项级数一致收敛，常有以下几种方法:(1)定义. 此种方法前提是部分和与和函数都能通过观察计算出；(2)柯西(Cauchy)准则判别法;(3)优级数判别法；不一致收敛的判定可根据定义或柯西(Cauchy)准则对应给出。证明：(1)因为当[tex=2.857x1.357]bxkuEf5OdjtfMlwpIXZhFYFm4mzHICAh/+PdGm82/Ds=[/tex]时，有[tex=14.643x2.786]YLcS6zTf56Tw4IG8QBZZPlqYkAoOkMsT8zslOSCePQBqE8ND1qD+/s/THlO0MYwlTLdDob57hfhR0kw/ub6yPo47GtmlCakAgppqLN3m2/EA1v0hLaCx/1ZyH5YG30leNKsbS8uDlHtZngQ6V2SJKOTo8YGVZtejaPAxblCPfxlq/DzQjucViLDXI7JbhrET[/tex]，所以当[tex=2.857x1.357]b8qVLss2x1FtuLTC0nsuCQ==[/tex]时，级数发散。(2)设[tex=4.714x1.357]2Qk4XPdNMV86HEHn+IPP0VgA55EJrjKfgW6e3y78qN0=[/tex]，则存在正整数[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]，当[tex=2.786x1.071]yThi63usA2LCCH2wVROBcg==[/tex]时，[tex=5.857x2.357]CxtlV4b048XCsFg8IKC2+sltXifTsHBHZc3C76YwAxhb6d6rsrAXKozcxw/qpAsq[/tex]，从而[tex=18.071x2.929]uN3jxAWiLtZgkMT87bImQS4DckYiHpAY8TmFeZysAKd2SBeu54nn8nt4AdfU53zKfW7A8kqIMaaGbcsc+CGkv3XZNm5HKLdSOPaAb7KinssZ1RitB2B0uIH9sjZuIy2QljG+/TsV8ubUv9jxERpA7YoL0Zetp81lu5Z7GCpDSLA=[/tex]，而[tex=3.143x3.286]3PXegz5bAQsuTODB0U8KrLxLOAHVPOq1KNEWP6brM9pdAsvibWiAhBksPUO58Tht[/tex]为收敛的优级数。因此级数[tex=4.143x3.286]3PXegz5bAQsuTODB0U8KrO8dE2QFyGzTKIgAWyUOAjW2NnK99u1z9bgI+kTvhzvW[/tex]在 $|z|<1$ 内绝对收敛且内 闭一致收敛。(3)级数在[tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex]内非一致收敛。事实上，在[tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex]内存在一个点列[tex=4.0x2.214]qNzkQhVPhCiF715Lue8W8+zusCKw5Ms9WciYrvh8s9I=[/tex](从比1小的正数去接近1)，使得[tex=20.0x12.643]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[/tex]故级数[tex=4.143x2.857]bjBo3cDXA3nRYzJ3yrl6dp20ta76PT0kJBnHgO+21KuSiGL4Q8x41f0DdpMoCjAh[/tex]在[tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex]内不一致收敛。
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    举一反三

    内容

    • 0

      设幂级数[tex=3.357x2.786]VCAPAvn3gOPyP36rvxBwz42vGlxEsX11yPxqpUctxqY=[/tex]的收敛区间为[tex=9.714x1.357]W/pJ7BbRMIyc+Ux1PFgVvQe9sUuGDFR0Jy3hIXtbaE0=[/tex]，并且在[tex=3.5x1.143]6GgWoBVZ18MHpPu7z8SCmg==[/tex]处绝对收敛，证明它在[tex=3.357x1.357]aDH89bOKucg0qfwlTd+D8g==[/tex]上一致收敛。

    • 1

      证明：几何级数[tex=2.643x2.714]LCs/jzl+nr3KBTJXBn4IiUf4h3itRUCPU9m7ZR5VCxY=[/tex]具有以下性质：在[tex=4.643x1.357]oK1mqtcwILcLnZ+WS8uml65wZZjroUY20BWyjtpuwIs=[/tex]内，级数一致收敛.

    • 2

      设函数 [tex=3.214x1.357]QP+eOmHJqKCByj1gWc95fw==[/tex] 在单位圆 [tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex] 内解析，并且满足条件 [tex=9.571x1.357]c8f8pYOWcLRchWEduA0fr6P3iqy5eGywOX8jdwKtHHe2TcTMs0ujGegNHVSj8rzn[/tex], 试证明在 [tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex] 内恒有[p=align:center][tex=13.5x2.714]JiSSM7lWuZhUfK/0U2SAH06k8wS3B76ksePXghCEk0zYGsVGP0UbmEc8leKhgwhyO15VkcpYO+JSr2RP2uDN4+OyiN8881A+Dsitm3yVbK8=[/tex]

    • 3

      试明：若级数[tex=4.429x2.714]ySadpvq7BrEZCGdcnD6+aYYKMve96JE4sd3o4QbcQhyFEB8wySY9WvLLExFxYbd4[/tex]及[tex=4.0x2.714]ySadpvq7BrEZCGdcnD6+aZmrAzqw84m41cRzSztSWcBTzzE1dPl749vdarS2YDQV[/tex]皆收敛且[tex=11.071x1.286]KEk9vvqmh+CBNh5nnxa46HqdwXfcZ7FgwC5TRAiXnHCxUdO0AP0u57VybKAorlBU12GvShicsM4yb7ZMMzYXHg==[/tex]，则级数[tex=4.0x2.714]ySadpvq7BrEZCGdcnD6+aeoIzvM7G7HHNcjbk992lZRvUS0Xh/lotVqiUMKn/3kW[/tex]也收敛，若级数 [tex=1.571x1.357]hjG9g3d/QK7lH8zZx+2L/Q==[/tex]与[tex=1.5x1.357]QON3ZX8tDpa8hcC8KI55XA==[/tex]皆发散，问级数[tex=1.5x1.357]jW5HUp91iXA6ZnNyC/+CoQ==[/tex]的收敛性若何？提示：(1)先证级数[tex=5.5x2.714]ySadpvq7BrEZCGdcnD6+aRrMeIUlIOH1QB+K47pqlk3PJyHm4zPMgvDT8ndQ74qKuwSRORSNDNzjOlQ26lPWRw==[/tex]收敛。(2)可能收敛，也可能发散。例如[tex=11.643x2.357]ozp+yD1eymb4/EK2UAZZC9r19Jhg5MU9Rjw7GnxmzJSPaUrcZlSER0YjHa9TokIA11573J3i6NzMPGTxnbTueQ==[/tex][tex=5.643x1.357]NGWbQ9xjBbPjETUZQumFRw/fmak//iRLrHzvWXLffDA=[/tex]。

    • 4

      设函数 [tex=3.286x1.357]ySGySJBkLne3ga0KuR9uXg==[/tex] 在 [tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex] 内单叶解析,且将 [tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex] 共形映射成[tex=3.429x1.357]n7NdiXnSY0QeVPpHDbeyGQ==[/tex]试证[tex=3.286x1.357]ySGySJBkLne3ga0KuR9uXg==[/tex] 必是分式线性函数.