试问函数[tex=4.714x2.429]TjYNucPD7hQeEFCdweMulox3lAHjd7twyVHlfVP1SoM=[/tex]在单位圆[tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex]内是否连续？是否一致连续？

2022-06-10

试问函数[tex=4.714x2.429]TjYNucPD7hQeEFCdweMulox3lAHjd7twyVHlfVP1SoM=[/tex]在单位圆[tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex]内是否连续？是否一致连续？

答案：

证明：(证法一)因为函数[tex=4.429x1.357]mo9g8BTkr8rAS/+M2P8A2wnqF19UYijR/fkzyeOcPzI=[/tex]连续，当[tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex]时，[tex=3.786x1.357]w8TS/LC2SCIhdH4uGGDRWTlm3C0x8a9mTNjDuD4S3Eo=[/tex]，从而[tex=4.714x2.429]TjYNucPD7hQeEFCdweMulox3lAHjd7twyVHlfVP1SoM=[/tex]在[tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex]内连续。(证法二)在[tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex]内任意取定一点[tex=5.0x1.357]L41I7F80qPQZpaB+Gd93cAXYm90y+tZFSQA/xMeNHc/N6qKfj66AJmCJ37mJbkS6[/tex]。令[tex=4.857x2.429]r8IhrayO4jwinN4YG4w7gqriK1adaguXgj/cFUr8H3+1fGkREgRt43UpIcuo32iJ[/tex]，不妨先假定[tex=4.786x1.357]BaERDnmQZjCGS/ZSW2O0X0b4B8d1zJ/LQ4U8vWRQtGdc5ik0ctp6FbOylFa1Nvyn[/tex]，则[tex=12.929x2.429]CTWXlYQPUeh5WcPgl7Ehqn26HdrJ+R7S+m48k7w3jpyfvLaXznyJl8LpvOlgrWBX2Buq2DbaAIvudm6HSU2jvCtFU5HjqVrIdin7larvI2aKDTSauLWmseVcX+ec/HcC+lmGJ6qQTqCtw8cAqYN8sw==[/tex]，[tex=30.571x1.357]9eXqTYkBYVHPpbYV/cnzMi0He+SNBoZ+27Y8VEo2n65hIIR2xOUST2tvQ4kyA5DpNxgWHKTDgmHqgzn34L2ii+SXn/puvagWVDJ1tvFN9kI1FCT1vSkAeZvkNR+XEPOsNoeU5ZijZMScZnySINBjN4ayeB+NEdpexoTySFEHnPefxhHoA5YUi6XaEHiMSjS/uZvguS+OJG81jiq89fCn87jTcGQzNftU5Y6Xn2k+go52oGdyMc/9b896u2kE+VwA[/tex]，从而[tex=27.571x2.786]B81WpDbNsG68D7/wf6CCV7qI5KRXg/nBBsV4lItO1sxJiz6IYqxcKeqolbo7uL+sn0F5jSk/R/ipAtegTe5oAkt/K0eNTE39nplJM+AZ4p27yvcpnM/I1cGW6u+cmD9+lhtBoUGD3arpl/XGaQcIWokXgPSHmWBB8N9lcuT57bLO12MqajOhnBON3DbRVaOo6OhbUCQG6F8BMJRNf1c4PIAkFBsYqTDxOuJBRm1WcfsvNn8QFT7lPephJ2OiJyOQ4vZwcHZm0LK6wBdsT426BA==[/tex]，因而对任给[tex=2.357x1.071]zaTYmiB02c3fW3zvAQdizg==[/tex]，取[tex=7.0x1.571]AgdTX1OMKrGtX1p448ubXaUjhEg2J/WjrlNKfsyxlGryZf/e56sKcTOMndKwcSDxjNTkQDz5Mq5jFd0DAoIuMIW3Y7SJHJguWzNY0pNfXNk=[/tex]，当[tex=4.429x1.357]BaERDnmQZjCGS/ZSW2O0XwwEw0Cj3x+hzox2jzospvg=[/tex]时，有[tex=7.143x1.357]Xpbr1vRuXuOYgKEcltcNd92p7vt/+d+MmQ6S3KzUXu7i3JyG/zQjfYs1FDZud4BuabbAFqZcAtY+0EQ7wLIGDA==[/tex]。由于[tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex]的任意性，知[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在[tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex]内连续。下面证明[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在[tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex]内不一致连续。对[tex=2.571x2.357]MyAUwo+HShvUgLouYHbqg1oxCRlgdS4f99H71me2dvM=[/tex]，无论[tex=0.5x1.0]g3C024VcW5lWpceJ6ZrB4A==[/tex]多么小，总可选取[tex=8.429x2.357]pu2Ze4U2AhwIfbxUAStAxfl91OAg9qdwPXFVAgcE9QhUTuDY9J7CJEsNz5xL6quK[/tex]，虽然有[tex=6.714x2.357]xrkkdPbCVOMGjIt/8SGWPnXeg/bVktTaIaJq+IY8ELhC83+ONWXq+p+TGgNN8P3r[/tex](只要[tex=2.714x2.357]4VIKhNxerV5xX/vrLwYneZfi3NoSqMlEYH9L0je9rK0=[/tex]即可)，但是[tex=10.143x2.143]lIo3jFsxXnPtr2duwH+ylj1uEPsDm1MdxJYIkqZYz7Jer6vqUUaMzuVvnisTIqN9Lti3Z9S3eeOmkhM7xxENaiSa7stChAFKAuCqfIX5PN6nEe6gDJot1lZpwTHFQJ99[/tex]。故[tex=4.714x2.429]TjYNucPD7hQeEFCdweMulox3lAHjd7twyVHlfVP1SoM=[/tex]在[tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex]内不一致连续。

举一反三

内容

0
设: 1) 函数 [tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex]在区域 [tex=10.857x1.357]WX80o8BeL09QUeE1S+jCKaJePOnFz7AKz0cEfVMt8NI=[/tex]内连续; 2)函数 [tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex]在区间 [tex=2.571x1.357]sjdPs/hhXAmvACj9h5RVRw==[/tex] 内连续, 且函数值属于区间[tex=2.429x1.357]36ozQVwWih66+Gec78SJEg==[/tex] . 证明: 函数[tex=6.857x1.357]k3zDLA8gwM4w0ZRZurYyVZoejW0f7L4Ik8P9Srw3I/w=[/tex]在区间 [tex=2.571x1.357]sjdPs/hhXAmvACj9h5RVRw==[/tex]内连续.
1
若一元函数 [tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续，令[tex=20.071x1.357]/rwdubLtLJNPC5bDZKMdplZs6vKwGLqlMxuvniBK++f00TF27V2iNVo2wLH9ZogrgP5pGzIyNj6RNMO0P9SOSfJJ9ec7N9tSZ9wao0B+mG4=[/tex]试讨论 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上是否连续? 是否一致连续?
2
函数[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]在点[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]处连续，试问函数[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]在点[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]处是否可微，为什么？
3
如一元函数 [tex=3.429x1.286]P3riAXwlulFoWGjfhH4DocgnHk+JNNDrwpr3qD1dehc=[/tex] 在点 [tex=0.929x1.286]pid4xDoxL+xaac7h3yRpsQ==[/tex] 连续, [tex=3.357x1.286]uzRvwzelySXa8Arr/LWDbayCezgZ1C/f6VUKt53TL/0=[/tex] 在点 [tex=1.0x1.286]5PBm7Rex1+3Bx6Y1vbx1pg==[/tex] 连续, 那么二元函数 [tex=2.857x1.286]tj1rvgP4AHIdbrLux0kAEQ==[/tex] 在点 [tex=3.071x1.286]cSjGHqCnItShrO6H41ZST8s5v6AHO0ktGOR16s+kL4s=[/tex] 是否连续?
4
考虑二元函数 [tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex]的下面 4 条性质:(1) 函数[tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex]在点[tex=2.857x1.357]EZ1YLh+FMEcQAjNnWDBjTOIsNztTlNE8eiBgVShrvuw=[/tex]处连续 ;(2) 函数 [tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex]在点 [tex=2.857x1.357]EZ1YLh+FMEcQAjNnWDBjTOIsNztTlNE8eiBgVShrvuw=[/tex]处两个偏导数连续 ;(3) 函数 [tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex]在点[tex=2.857x1.357]EZ1YLh+FMEcQAjNnWDBjTOIsNztTlNE8eiBgVShrvuw=[/tex]处可微(4) 函数 [tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex] 在点 [tex=2.857x1.357]EZ1YLh+FMEcQAjNnWDBjTOIsNztTlNE8eiBgVShrvuw=[/tex]处两个偏导数存在.则下面结论正确的是未知类型：{'options': ['[tex=7.0x1.357]LI/A6g83qMWkspQoIAxg235oMvxzT+olJO0vBJtaNVR6AeEc+bTbt8K1FaN91+ii[/tex]', '[tex=7.0x1.357]2msp+hqepc3OQyJW39s3znrPQd2cQyONz0sQpidnkm5CLqdI1zJf0rQvDLR4w8ya[/tex]', '[tex=7.0x1.357]2msp+hqepc3OQyJW39s3zsRXAYoUByh3gckcm3YOTCoRoRyvvTWqy8GXrRUSDL3H[/tex]', '[tex=7.0x1.357]2msp+hqepc3OQyJW39s3zib0s5Zt3aK71zIoZbNqO3oywpSFgiM5nrGM6ykqZb3e[/tex]'], 'type': 102}