判断下述结论是否正确，并简述理由。如果 [tex=2.571x1.214]nAEj6t2zxG0wF4gJ23kHMg==[/tex] 则 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]有相同的特征值和特征向量;

2022-05-29

判断下述结论是否正确，并简述理由。如果 [tex=2.571x1.214]nAEj6t2zxG0wF4gJ23kHMg==[/tex] 则 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]有相同的特征值和特征向量;

答案：

解:  错。 若 [tex=2.571x1.214]nAEj6t2zxG0wF4gJ23kHMg==[/tex] 则 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]有相同的特征值，但未必有相同的特征向量，设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的属于[tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex]的特征向量为 [tex=5.214x1.357]YpqcUaLKwkDHeXhY3gf3Pyfj5vqRV71cWKLHDnz4QMI=[/tex] 由 于 [tex=2.571x1.214]nAEj6t2zxG0wF4gJ23kHMg==[/tex] 则存在可逆矩阵 [tex=0.857x1.0]sKuuIgoU/ynFEIl8B2/CpA==[/tex]，使得[tex=4.929x1.429]et2YXtbv6kc7uS7u7q/+3g==[/tex] 所以 [tex=5.643x1.429]PTbdRtfQkPizL9MAfoJDrEWFikIQ8hzgaFc0HB74XD0=[/tex]于是 [tex=6.071x1.429]4onb9qpID3ksYc49ROsmLOBAyoIRWsFS1ZiZLPR9UkyD0+i/2b5+7vUK77NmQkk5[/tex]即 [tex=10.143x1.571]R+Yu20dPRO0yxE7YRe+mpHF9qbCPeUiv5QMZrlROm/MbepheO9pBdwk8dG7sU5O2L1rFawh57QWqzLQwBAN/Ap3BsxHIQt3MLaT6MwXVKu4=[/tex]由此可知矩阵 [tex=0.714x1.0]jVFRmP3HndwdDGCwdFmiLg==[/tex] 的属于 [tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex] 的特征向量为 [tex=2.357x1.214]wKoq+I5dPY+CoSH6K2HCWw==[/tex]。

举一反三

内容

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设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵, 求证: [tex=6.571x1.214]prk5OXj6GGpTzoomXfzlfqvHl4A3xuqNYxwRJsmHMEE=[/tex] 有相同的特征值.
1
设[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]都是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，命题"设[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]都可逆，则[tex=1.571x1.0]mCjAngcIqtveplNftuY0BQ==[/tex]也可逆;"是否成立?
2
设[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]都是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，命题"设[tex=1.571x1.0]JLMbVw4e37VvhkU494+8Ew==[/tex]都可逆。则[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]都可逆"。是否成立?
3
设[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]都是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，命题"若[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]都可逆。则[tex=2.286x1.143]Px4s+PosevWooBpZPidJvg==[/tex]也可逆"是否成立?
4
设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 都是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵. 证明存在正交矩阵 [tex=0.714x1.286]BMKsEVFNvpiLV0UsqDFXCw==[/tex] 使 [tex=4.571x1.214]aA8Ln8oOBLFa22UQ2Hn7UUkDW7m0m7goFnAnKhfj2Rc=[/tex] 的充分必要件是 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 的特征多项式相等 (或特征多项式的根全部相同).