设[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]是系数属于域[tex=1.071x1.286]Yf9vilsri8269WAMogYgOQ==[/tex]([tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素数）的一个多项式, 证明[p=align:center][tex=5.929x1.357]Ny0A5/F+eAq0do7xYJbhJFg93F1cOmaZyx83cJIoRCU=[/tex].

2022-05-29

设[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]是系数属于域[tex=1.071x1.286]Yf9vilsri8269WAMogYgOQ==[/tex]([tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素数）的一个多项式, 证明[p=align:center][tex=5.929x1.357]Ny0A5/F+eAq0do7xYJbhJFg93F1cOmaZyx83cJIoRCU=[/tex].

答案：

证 设[p=align:center][tex=10.857x1.357]jL/65ntWpCOUaTTp3st1mvOLIjBNe+EtrdUT8WYCk3Va268pq5quHPtLPQpa3wGN[/tex]其中[tex=9.214x1.357]xbl8Q5cjSf56jAEOmNLWMGj7MZVGIlJDIDd4cXv16vVzbN14UWs4oxwJ1HUKpYEc[/tex]. 但因[tex=1.071x1.286]Yf9vilsri8269WAMogYgOQ==[/tex]与多项式环 [tex=2.214x1.357]Yzlfkeh4tvQ/WJ21DdI4NA==[/tex]的特征均为[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]且[tex=5.286x1.286]HKjJytWDnYwmdf+Xv0MzH1MeZRA7/zEeZfFVKEhJ44g=[/tex], 故[p=align:center][tex=13.786x4.643]AAJgMxjrHIgIe/zmRC7re7GIc4Z8N6zFcahuMdXgecfEceqsRYkw4Lar0481Odu36EaV8a0tC/ZfrDMN047f+xryjCrT+AMoZ/wK08ENbshZ7dV74zFS7rtX+SRf25W50Fh7iOT2PsixlwaeA9HrbAD//LlQ+MrDHEiz5Lc3at1Ox5xjewS2aT46+3gKD7o5w+XMCeQVtjWTnJMedX9h0xIOvb1fPX2Xwf8MfEcpiz94y+7/NLxqhK8Ew6/isxr2[/tex].

举一反三

内容

0
证明：次数>0且首项系数为1的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式的方幂的充要条件为：对任意的多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有[tex=6.214x1.357]SCBkc5H4H7gXsFShGuBkXHGQ7amFMmuOXsrvhaPqenQ=[/tex]，或者对某一正整数[tex=5.786x1.357]jL4G1wTMOudnUvgQ3CGU1iBEGFBNZSU4aIci2NH+pS8=[/tex]
1
数域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上全体非零多项式的集合对于[p=align:center][tex=10.857x1.643]Ck4j1YFlvVH5wCAykOEMiyvHbHFt4Bo+u2KoSFSPvR078AGYnVsfpF0PiKViy+HFn8la6idFrabkKok6s6kIvA==[/tex]是否满足结合律和交换律?其中 [tex=4.929x1.357]Oj/mfpf72qhxuBE24/IwLw==[/tex]表示 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex] 的首系数是1的最高公因式.
2
设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]和[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]上两上一元多项式[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]为给定的正整数，求证：[tex=4.5x1.357]ShTuQDB0guSKuvZOgm7LB0dGW2npF11Qsz8N+RlM50c=[/tex]的充要条件是[tex=5.5x1.5]LCGuFyBtoLSMLQDde42e4ThLaqXlbzBEgN6R284jA1M=[/tex]
3
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是有单位元的整环. 证明:若 [tex=4.071x1.214]e9dgkRD4ubLrCzzjIX5OfYTkN9P1upXqByi+BV+G+gI=[/tex]([tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex] 是素数 ), 则[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]有子环与 [tex=1.071x1.286]Yf9vilsri8269WAMogYgOQ==[/tex]同构.
4
设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是惟一分解整环[tex=0.929x1.286]nrJzN9qRndstwtgYfof7gw==[/tex]的分式域. 如果在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中有[p=align:center][tex=6.429x1.357]eLAsG/+flQr7kHDdrpKQrQ==[/tex]但其中[tex=6.643x1.357]DK7pDZT68NyzH+9bx+gD2J/BlXrHm5S4I+bZrWu4Wa4=[/tex], 而且[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]是本原的. 证明[p=align:center][tex=4.571x1.357]IgHosjLgNqqi335Ym7yzxQ==[/tex] .