设函数f(x)在区间[a,b](a,b∈ R)上满足Dirichlet条件,如何求f在[a,b]上的Fourier展开式?试写出它的Fourier系数公式.
若函数f在区间[a,b](a,b∈R)上满足Dirichlet条件，则f(x)是周期T=b-a的周期函数.不妨设[tex=5.643x2.429]dcYhTUwuFl84R/ZU/Z3vXKL4hCwpb286CzY9gcy5CJ4=[/tex]，并作代换[tex=7.357x2.429]/q1bIGypX9rMnHHCZBm9RW519VjZxPYVOzOXoK6Ul3A=[/tex]，于是[tex=16.571x2.429]Cr2la0beTrFV/ZgMLie9lH0VO2lCDEObxa74/t4NEta/SCTeiyNRU3YLzxS/B4qZLHR6CMzou/InNVJT/QdZfoAL0pFyznFeBtDgtF+Q/Bk=[/tex]，即-l≤z≤l，从而有[tex=20.643x6.357]fnpmC2J6JmQBLyo5NmGAz+CsfIC40ao4IwTO54cb/iMP2QEki9QYIRNpNd0787Pp/xPVs/0HHJJN0W8ygV+RJJ7bbuhTrXZHTCcXgWE2ncOBLsc465KdSB5pHGNvHdqewSfWmFX4YheDo/PxTH/b8lHQzCzmKgy2tD6yfRev0XRo3KLcs5LhgGxfJ6at8LjtCQvIsnOQphBbjOgsCg427+88hxUy5VLJONtJXiDXjygNFSMch9JC4AHf+i28tpcNmFi/iXRsV6m1G29X9S/49JJjCsIgyJ6uior5Vz2isAKX9E1KKDtDR//rhOQV2J0A[/tex]再作一次代换，令[tex=2.714x2.143]BaVd/7bUPrj9+XgG6otsBwDH/fY+GfbdpUn+8EadT2s=[/tex]，于是-l≤z≤l化为[tex=5.143x1.143]beHylsC6Rg/tTqXoBaW2FLqB+gTLnz/pRu/oCUz35lY=[/tex]，[tex=11.071x2.786]iAT62pCB+tFVMzOPkLUlGaYg6khJ4OdtlAP6ZS2EhvAt9FWyw6YMig2un6lxZzUpzZiAs/yCyFYTOupOWfIDhw==[/tex]是周期为[tex=1.071x1.0]cWYnFY7tUlCT6WhMhv7goA==[/tex]的周期函数，且满足Dirichlet条件，从而有[tex=20.0x5.786]fnpmC2J6JmQBLyo5NmGAz+CsfIC40ao4IwTO54cb/iP8k+tU8kgUB2ypa7d2pyqVy+kZANzacjOF6h1H2KlmBUwLOUv/A572HIvTxWOQlNcn32NWnFFB7c0a2c7XnsWchWAxNau6E/HgrlEOB7OGMvrsU22irQLaTpDjkdNEHKVVgKHRKShITm3eAaeshA5CF7Zmn+NtrxRg/3LnMDSB/BwS3nzQXUve5DCeTJEmC+/Sg52VcBvqDoUzglOoeYVl8BM5561OYkWHP6dBHcUCC5zWIMvYrDnnfLMJd+2uxiLw/T5aEnhmK0BtL4a0TRUw[/tex]再代回z，即得到前面的系数公式①，再在式①中代回变量x，得f(x)在[a,b]的Fourier系数式[tex=21.929x6.5]Ck4j1YFlvVH5wCAykOEMi9CO6ejaJkIJgFFugJG+3GeRSMn+D/O7E8UJLY0JrzeDHq12KelnYY2KCI6gbFxMsamjwx8FIVUpISZoh86V9HPtOZW+k7sUqGD1e1eqIEtmZnJg868D6/WT2aJnZ6F2KVgoQcZs+wyeCxoXHk3l4rjtHWSzefpQrDzv48is/HpcnIa2v9HoMbhBW9ggEItAgScVGkenaFFcg36eT975BksUQd3B687/ekXvvIXluPBZ/KcuPXvMXFSUlwAcBGgaUK79TFGal/oPC1xGV8uGmZ8vCarewMiHrRCT4ynj4n2i[/tex]其中l=(b-a)/2.
举一反三
- 设函数在[a,b]上可微且f`连续,f（a）=0.求证：∫[f(x)]^2dx
- 设f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）f（b）>0，则f（x）在[a，b]区间内没有根。
- 设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于零，证明∫(a,b)[f(x)]²dx＞0
- 设函数在闭区间[a,b]上连续,且严格单调减少,则f(x)在[a,b]上的最大值为( ) A: f(a) B: f(b) C: f(0) D: 不确定
- 函数f(x)在区间[a，b]上连续，是该函数在[a，b]上可积的( )． A: 必要条件 B: 充分条件 C: 充要条件 D: 无关条件
内容
- 0
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,若满足( ) ,则方程f(x)=0在区间[a,b]内一定有实根。 A: f(a)+f(b)<0 B: f(a)+f(b)>0 C: f(a)f(b)<0 D: f(a)f(b)>0
- 1
函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且[img=63x21]17e0a8613fd61e0.png[/img],则函数y=f(x)在区间[a,b]上单调增加。( )
- 2
函数f(x)在区间[a,b]上可积,是f(x)在[a,b]上连续的 .(B) 、必要条件;(B)、 充分条件;(C) 、充分必要条件;(D)、 既非充分也非必要条件.
- 3
如果函数$f(x)$在$[0,1]$上可积，则任取区间$[a,b]\subseteq[0,1]$，都有$f(x)$在区间$[a,b]$上可积。
- 4
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满足_____________，则方程f(x)=0在区间[a,b]一定有实根。 未知类型：{'options': ['f(a)f(b)>;=0', ' f(a)f(b)>;0', ' f(a)f(b)<;0', ' [img=87x19]17e0b8ca443f29e.jpg[/img]'], 'type': 102}