设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵,若 [tex=13.0x3.786]VmXIdTUqVWAbfCJkQY3maHvxdjnvUqPzLkbCDLoXdJbZFIE70kt+HTK4+52fLb3MwQQJ9qoXSsFekNJHVJgFmz7aGP25BFE62e1lPYnrb9mQsHzZfmwzgepEwmHL2Eam[/tex]则称[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为对角优势矩阵.试证明 : 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是对角优势矩阵，又设经过 [tex=2.643x1.0]mjUKvmlWRARhR4B0IOAXBqDn9an1MYLR6ndco3clCrY=[/tex]消去法一步后, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]具有形式[tex=6.0x3.357]NeoTBlf1CmkUoMf07Si5dByEre2i+lZJ2m5lwahy0X2aQft36NhNTcQSElAv08zyOS4/CcPFcbHwDDwDFg6/x3IW9BB3OP0NjfVQAhlXBv4WL0UhgwR7yE5bjJ3bpp7A[/tex]则 [tex=1.143x1.214]G9FGYE5DVd2ZDggqvhUxJA==[/tex] 是对角优势矩阵.且由此推断: 对于对称的对角优势矩阵，用 [tex=2.857x1.0]nFfMk1gAq4fR5TwPu+p8Og==[/tex] 消去法和部分(列)主元[tex=2.857x1.0]nFfMk1gAq4fR5TwPu+p8Og==[/tex]消去法可得到同样的结论.
举一反三
- 求证: 若 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和对角矩阵 [tex=9.286x1.357]4hVOD4TWSI62OX9AhSJlcFT9/s8GpEqLGvCv8s+mV12qyqoqYS5txrxH/yqVh2LI[/tex] (或任意一个主对角元素互不相同的对角矩阵) 乘法可交换, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必是对角矩阵; 若进一步 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 还和第一类初等矩阵可交换, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必是数量矩阵 [tex=1.429x1.214]FxIjkBm1yL0dMFtX1spLfQ==[/tex] (由此可知, 矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是数量矩阵的充要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和所有可逆矩阵可交换).
- 求解下列矩阵对策,其中赢得矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为$\left[\begin{array}{llll}2 & 7 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 6\end{array}\right]$
- 已知 3 阶矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值为 0，-2，3，且矩阵[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]与[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]相似，则[tex=4.643x1.357]/AnguSGMpt5KutuBHaXS+w==[/tex][input=type:blank,size:4][/input]。
- 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为 3 阶矩阵，且[tex=2.643x1.357]UmLV2A1CdZWQv7CRGUJlsA==[/tex]，则[tex=2.643x1.357]KoGZ1RDPPY3DFvVdN0xWqg==[/tex]（ ）。 未知类型：{'options': ['4', '8', '16', '32'], 'type': 102}
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证: 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是严格对角占优阵且主对角线上的元素全为正, 则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是正定阵.