证明：如果函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]当[tex=3.071x1.286]epyzJj5kRfGc7cbgeLp8DTCEvFzy/hIVnu3UmeowDkI=[/tex]时的极限存在，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.0x1.286]MbVCvtU/uPxPZNRe2xKNJg==[/tex]的某个去心邻域内有界。

2022-05-30

证明：如果函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]当[tex=3.071x1.286]epyzJj5kRfGc7cbgeLp8DTCEvFzy/hIVnu3UmeowDkI=[/tex]时的极限存在，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.0x1.286]MbVCvtU/uPxPZNRe2xKNJg==[/tex]的某个去心邻域内有界。

答案：

证明：设[tex=6.214x1.643]jKTMmGU7Sqrtwb4mzqCzJfaMxp8lyJc54Edbi+I0xMc=[/tex]，于是[tex=2.786x1.286]joguGSInidzw2xc+WzmvAZad/jjxgQdNyh+mayOOv3Y=[/tex]，[tex=0.571x1.286]qM/qSoDSmblACxrriibiAw==[/tex] [tex=2.286x1.286]YvWhyAteU9AzTKabmW8JSg==[/tex]，当[tex=6.857x1.286]gE1cRkuA+X4ZLv8YpSiFXR1fihm89K8UoN3ok5OOwWY=[/tex]时，都有[tex=6.143x1.286]UivPyvvM9PNXbL8qepVO5T8nQ72uf+he2IvrooLhMd4=[/tex]，即[tex=9.214x1.286]1mbOee/0x1vBZw+bzZOtAyMD0EtsMi62ZqXHLo+aEJ7Z23jWs7v8AVLOaw56cMF6[/tex]，这说明[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.0x1.286]MbVCvtU/uPxPZNRe2xKNJg==[/tex]的去心邻域[tex=3.857x1.286]Xae/vkspVa+mPCzgpCVcc3rmW4OdNOljNCG0YYIQ2P8=[/tex]内既有上界又有下届，从而有界。

举一反三

内容

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设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在点[tex=1.0x1.286]MbVCvtU/uPxPZNRe2xKNJg==[/tex]的某领域内有定义，则[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.0x1.286]MbVCvtU/uPxPZNRe2xKNJg==[/tex]点可导的充分必要条件是未知类型：{'options': ['[tex=13.857x2.071]8+/oqxHVkhUml0LAR1kATnq6F5s90nvu5Ren0B6O5kdKlF8cwNo0FF6MFHHr6vBndOOVWeTRNeCEm5J3h7XnqZX0alCMVdycNaIGV8G1GGy9KGi2V8paAeqECcjS8i+d+IfxV8Ex9AE9GPuO1LTmwg==[/tex]存在', '[tex=12.643x2.357]I5PocycXYSmqX9keDWPEOySZwIkjxwNVruZeyYfaQQKBFdd/JUnez4J5DyFlik/ReURU8zP+kBgp806K5d8827zziFK6rCpXMTJVi8WK6bmqHZFL15LArmb+3zE8Pi8n+SfRVThjXspws4c9Ud9LpA==[/tex]存在', '[tex=12.071x2.357]z2AX4cYu8FC6XP/f6yZBJso0hpXBtJ16+jbgG/qEpI5GJUVly4xwlZOXA1Hw/+7OAkyEVo1eCzZWGW3yIYztNQC+hfl2MgUX/EdqNjHoltLi9vej/6s3GUZBCVwpngwiHuJ4tdC5Uy4jaDS890dBIw==[/tex]存在', '[tex=10.429x2.214]wuvw8goxuQF5hpuW6t8mhlEBCKb2vY/xBtWjQOljrc2E3WcLNdI0uIFASMBvJDHOCM00XyPiutbjG14NZQeCmoxWb1cWiYViTJ6TggVsUy6PjX9dSEojPTwQ5XasPJb6[/tex]存在'], 'type': 102}
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设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在点[tex=1.0x1.286]MbVCvtU/uPxPZNRe2xKNJg==[/tex]的某领域内有定义，则[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.0x1.286]MbVCvtU/uPxPZNRe2xKNJg==[/tex]点可导的充分必要条件是未知类型：{'options': ['[tex=13.857x2.071]8+/oqxHVkhUml0LAR1kATnq6F5s90nvu5Ren0B6O5kdKlF8cwNo0FF6MFHHr6vBndOOVWeTRNeCEm5J3h7XnqZX0alCMVdycNaIGV8G1GGy9KGi2V8paAeqECcjS8i+d+IfxV8Ex9AE9GPuO1LTmwg==[/tex]存在', '[tex=12.643x2.357]I5PocycXYSmqX9keDWPEOySZwIkjxwNVruZeyYfaQQKBFdd/JUnez4J5DyFlik/ReURU8zP+kBgp806K5d8827zziFK6rCpXMTJVi8WK6bmqHZFL15LArmb+3zE8Pi8n+SfRVThjXspws4c9Ud9LpA==[/tex]存在', '[tex=12.071x2.357]z2AX4cYu8FC6XP/f6yZBJso0hpXBtJ16+jbgG/qEpI5GJUVly4xwlZOXA1Hw/+7OAkyEVo1eCzZWGW3yIYztNQC+hfl2MgUX/EdqNjHoltLi9vej/6s3GUZBCVwpngwiHuJ4tdC5Uy4jaDS890dBIw==[/tex]存在', '[tex=10.429x2.214]wuvw8goxuQF5hpuW6t8mhlEBCKb2vY/xBtWjQOljrc2E3WcLNdI0uIFASMBvJDHOCM00XyPiutbjG14NZQeCmoxWb1cWiYViTJ6TggVsUy6PjX9dSEojPTwQ5XasPJb6[/tex]存在'], 'type': 102}
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设函数[tex=9.429x1.286]60ZZrqZxR6FjwIEDJkkN8GZzuRA9Db9FoIYXt88y0rQ=[/tex]，问常数[tex=2.286x1.286]bgRCqFDh7Qlm+Jdlv7ZhhQ==[/tex]满足什么样的关系时，（1）[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]没有极值；（2）[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]可能只有一个极值；（3）[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]可能只有两个极值。
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指出命题是否正确，若有错误，错误何在？函数[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]在点[tex=1.0x1.286]MbVCvtU/uPxPZNRe2xKNJg==[/tex]处连续，则[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在点[tex=1.0x1.286]MbVCvtU/uPxPZNRe2xKNJg==[/tex]处可导
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证明:若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=0.929x1.286]D0SjfA4tfMuU4WE/2xYU+g==[/tex]是下凸，且有界，则[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]是常数函数。