证明:赋范线性空间中的任何完备子空间是闭子空间.
证 设 [tex=0.643x1.0]jDVSpgNhHe+VJmgvx3gg1Q==[/tex]是赋范线性空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 中的任何完备的子空间,若对于 任一[tex=5.357x1.214]+4taMwunbjJPjHViAbLLVBxadE3odIOlI5sTXmv+vU+iE4/WDhtxaxMErvY85B9w[/tex]则 [tex=2.0x1.357]CjCvAldACdhCbOUJYZLY+0nRBLhCQFA+2tCS8je5CxI=[/tex]是 [tex=0.643x1.0]jDVSpgNhHe+VJmgvx3gg1Q==[/tex]中的一个基本列,因为 [tex=0.643x1.0]jDVSpgNhHe+VJmgvx3gg1Q==[/tex]是完备 的,则[tex=2.143x1.214]HnbaUPtVHzIsZYxotuO6nQ==[/tex]故[tex=0.643x1.0]jDVSpgNhHe+VJmgvx3gg1Q==[/tex]是闭集,即 [tex=0.643x1.0]jDVSpgNhHe+VJmgvx3gg1Q==[/tex] 是[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的闭子空间.
举一反三
内容
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赋范空间的子空间一定不是开子空间
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设[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]为赋范线性空间，试证明(1)序列弱完备的赋范线性空间必是巴拿赫空间
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赋范空间的子空间一定不是开子空间. A: 正确 B: 错误
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证明任何有限维赋范线性空间都是自反的。
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若W是线性空间的子空间,也是线性空间的子空间,则W是的子空间。