证明：如果向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的每一个向量都可以唯一地表成[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]中向量[tex=1.0x1.0]PKm+ED/8cg/u4z2vW4MmrQ==[/tex]，[tex=1.0x1.0]5vfckb5Fh/s181aB3Qm07Q==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=1.071x1.0]JpINJ7B6c472Pul9K1BbYQ==[/tex]的线性组合，那么[tex=3.857x1.0]NovbxKl63Ey/milqTcbe//ghBF9EdlQj8XG2+fjtSpk=[/tex].
举一反三
- 设[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间，且 [tex=6.571x1.071]ZyqBa4JfWRPKusGwA3PAKqa8sjPrakad+dZGuQBTVus=[/tex].证明：[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]中有不止一个余子空间。
- 设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是四维实空间且在 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上定义了一个对称型 [tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex], 在基 [tex=5.714x1.357]yPhJXQIl8Vkkaabg35IZOGVtZGzkdq1/u2PblmTh4b/jc7Mf+jUypcpQb4MlLonvPtyUAaKnTQ/N/PcgvDmjsg==[/tex] 下其表示矩阵为[tex=8.571x4.643]rwMhqGKFQ+j3l2qMx/grPurbfPjRHrkQOeDywE0W7k8Mx7V7jq2kFKkRVjwcI+aPw0x9mkU473QXVCffl4XeD33ut8nVn+KpNk/vWcNKjsbeMgCi+U46OmnMiLKt9uwfBNbZF/hbEt7LIOtxHIrQ/AEjccvcQVKlI7L2j3jPb68=[/tex]空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 称为 Minkowski 空间. [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 中适合 [tex=4.714x1.357]V2Nk7vXDplu2jLOaXGir+uZT5h0RZ7Xr51uH0YAt60g=[/tex] 的向量 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 称为空间向量; 适合 [tex=4.714x1.357]V2Nk7vXDplu2jLOaXGir+liEhWGant09SoMRBwi0Qoc=[/tex] 的向量称为时间向量; 适合 [tex=4.143x1.357]V2Nk7vXDplu2jLOaXGir+mSy5RxwC3rf0YDcdg6rI8c=[/tex] 的非零向量称为光向量. 试证明:(1) [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 中任意两个时间向量不可能互相正交;(2) [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 中任意一个时间向量不可能正交于一个光向量;(3) [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 中两个光向量正交的充要条件是它们线性相关.
- 设[tex=4.429x1.214]wdHwRVgwC7JparTaLH/Q2vH/V2im91ju8tzz2wt+Roc=[/tex]是向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]到[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]的一个同构映射，[tex=1.0x1.214]Gyk9oZZNuuqd3a3TjbH+bQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间。证明[tex=2.429x1.357]YrkV0/qOeegIRB3IehV7HgVgW3nV/pANLcX/DE49WN8=[/tex]是[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]的一个子空间。
- 设[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维欧氏空间，证明：(i) 如果[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间，那么 [tex=5.071x1.786]XY56GNRACVe6b2qd75bdLbEoOuqFoEbnmfTH9irME46lJ6iwlS1YWvk4vDNGYHBI[/tex].(ii) 如果[tex=1.357x1.214]GKMenh0m+y3HeiRY6A5A1w==[/tex]，[tex=1.357x1.214]ztgeeoEuax7xCxL39pAmeA==[/tex] 都是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的子空间，且[tex=3.929x1.214]mpMQ4Ru5iSHdEe8yWA+LnWVXOqkUqWcmSai3+gNB1u8=[/tex]，那么 [tex=4.714x1.5]mrXs+eTyKg7VSoADvWalB+kQwoBZHeA+tzspi3E5EsvhWlx5xmUKG2weRdhKfJai[/tex]。(iii) 如果[tex=1.357x1.214]GKMenh0m+y3HeiRY6A5A1w==[/tex]，[tex=1.357x1.214]ztgeeoEuax7xCxL39pAmeA==[/tex]都是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的子空间，那么 [tex=10.5x2.0]Ld8gFueB3cMfdhC3+TJi4YFbblYbGe5K+i0mxbGikXnY/TVGGjA38UTtHqpIwitd1OT/xbMJzLN5uSQyv2lyPVKL0T1K+Y7QTu2lcwERL2M=[/tex]。
- 令[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一些线性变换所成的集合。[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]如果在[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]中每一线性变换之下不变，那么就说 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的一个不变子空间。说[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是不可约的，如果[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]中没有非平凡的不变子空间。设[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]不可约，而[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个线性变换，它与[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]中每一线性变换可交换。证明，[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]或者是零变换，或者是可逆变换。 [ 提示 : 令 [tex=5.0x1.357]o2+7Gdi3IvIUF7x5ByZZytJ/TK5JsUQ7dq1ESJYAz0s=[/tex]，证明[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的一个不变子空间。