设X(t)为平稳过程，其自相关函数RX(τ)是以T0为周期的函数．证明：X(t)是周期为T0的平稳过程．
记Y(t)=X(t+T0)-X(t)，由于X(t)是平稳过程，故Y(t)也是平稳过程(见本章第3题)，且E[Y(t)]=E[X(t+T0)]-E[X(t)]=μX-μX=0，D[Y(t)]=E[Y2(t)]=2[RX(0)-RX(T0)](运算过程见上题)，又，按题设RX(τ)具有周期T0，故RX(0)=RX(T0)，即有D[Y(t)]=0，由教材第四章§2方差性质4°知，对于任意t，有P{Y(t)=0}=1，或即P{X(t+T0)=X(t)}=1，即在概率1的意义下，X(t)是以T0为周期的平稳过程．
举一反三
- 若平稳过程X(t)满足条件[tex=8.786x1.357]vcimYnqUUWIlDfll5cVDy2xPcnAFy4r7vIVOvwMp9RQ=[/tex]则称X(t)是周期为T的平稳过程.试证X(t)是周期为T的平稳过程的充分必要条件是其自相关函数[tex=2.571x1.357]cJ+30/G/tbnrq8TUDjysGw==[/tex]必为周期等于T的周期函数.
- 设{X(t)，t∈(-∞，+∞)}与{Y(t)，t∈(-∞，+∞)}为两个平稳相关的随机过程，试证明{Z(t)=X(t)+Y(t)，t∈(-∞，+∞)}亦为平稳过程。
- 平稳随机过程X(t)，均值为a, 自相关函数为RX(t), 通过线性系统后的输出为Y(t)=X(t)+X(t-T)。求: (1)输出过程Y(t)的均值，(2)输出过程Y(t)的自相关函数, (3)写出输出过程Y(t)的功率谱密度
- 设 X(t)是一个均值为 a、自相关函数为 Rx(τ)的平稳随机过程,它通过某线性系统的输出为Y(t) = X(t) + X(t - T) (T 为延迟时间)(1) 画出该线性系统的框图；(2) 求 Y(t)的自相关函数和功率谱密度；(3) 求 Y(t)的平均功率。
- 如果系统的输入X(t)为平稳随机过程,均值为ax,自相关函数为Rx(τ),系统的输出过程为Y(t)=X(t)+X(t-T),试求:(1)输出过程的均值(2)输出过程的自相关函数(3)输出过程的功率谱密度函数
内容
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若随机过程Y(t)=3X(t)+4,其中X(t)是均值为0,方差为1的平稳随机过程,试问Y(t)是否平稳?
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设[img=63x57]180342415bb86df.png[/img]为平稳随机过程，其自相关函数[img=74x56]1803424163b0334.png[/img]是以T为周期的函数，则[img=275x69]180342416f487ac.png[/img]（ ）。
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设[img=63x57]180342416cdf508.png[/img]为平稳随机过程，其自相关函数[img=74x56]1803424175094bc.png[/img]是以T为周期的函数，则[img=275x69]180342417fffacb.png[/img]=（ ）。
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设[img=63x57]1803536362bc335.png[/img]为平稳随机过程，其自相关函数[img=74x56]180353636b7b91c.png[/img]是以T为周期的函数，则[img=275x69]1803536376621fe.png[/img]（ ）。
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设[img=63x57]1803424198cab26.png[/img]为平稳随机过程，其自相关函数[img=74x56]18034241a0dbc0c.png[/img]是以T为周期的函数，则[img=275x69]18034241ac1b632.png[/img]=（ ）。