试证明[tex=3.0x1.214]IUHrYHrM08MGOPGYrhrf7lrE2bY1p1ex4nRajltli6M=[/tex]，[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]逻辑蕴含[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]

令[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]是有理数域，[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是一个环，而[tex=1.429x1.214]H8qsSWZYwXBt+UVrO31MrQ==[/tex]都是[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]到[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的环同态．证明：如果于任意整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]都有[tex=4.5x1.357]aD0uAHzLLoNYJxEbOWEOvg==[/tex]，则[tex=2.071x1.214]McF5oa8PUkJ06ySb5rISYA==[/tex]

取集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]为实数域[tex=0.786x1.0]czmpOvTmaMgRl7StPBE3ig==[/tex]，数域为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]。集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的向量加法规定为实数的加法，纯量与向量的乘法规定为有理数与实数的乘法，则[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]成为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]上的线性空间。证明：在线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]中，实数1与[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]线性无关的充分必要条件是，[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]为无理数。

确定下面集合是有限的还是无限的。如果集合是有限的，对它的基数找出表达式：命题变元[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]、[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]、[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]和[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]上所有命题公式集合。

下面的断言如果是真的证明它们，如果是假的，找出[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]和[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]的解释以证明公式是假。[tex=16.786x1.357]ZqfpriyvqXhpQ5nxOR3QDZ0hsuFVeVLuMJnKeuFIKXbPhb3MrMp5xUtSdcC5h02HjkaH2u7Z9oQ0yNPwZ/Qw7UPFzCIYtxSZg8lBvTiALP1V80oAGFHuHYGE+pynwCjN[/tex]