设[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是一个正有理数，[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]是有理数域. 证明：[p=align:center][tex=8.786x1.429]j83tODiZC8TaN8H0akDsKwD8qpvIwMm2k207uyom/h7QDZVBycgS7KKyXPuVitJE[/tex]
举一反三
- 找出[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]（有理数集合）的基数，并证明之。
- 令[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]是有理数域，[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是一个环，而[tex=1.429x1.214]H8qsSWZYwXBt+UVrO31MrQ==[/tex]都是[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]到[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的环同态．证明：如果于任意整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]都有[tex=4.5x1.357]aD0uAHzLLoNYJxEbOWEOvg==[/tex]，则[tex=2.071x1.214]McF5oa8PUkJ06ySb5rISYA==[/tex]
- 取集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]为实数域[tex=0.786x1.0]czmpOvTmaMgRl7StPBE3ig==[/tex]，数域为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]。集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的向量加法规定为实数的加法，纯量与向量的乘法规定为有理数与实数的乘法，则[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]成为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]上的线性空间。证明：在线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]中，实数1与[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]线性无关的充分必要条件是，[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]为无理数。
- 证明有理数加法群[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex] 的任何有限生成的子群是循环群.
- 断定下列多项式在 [tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex] 上是否可约.[p=align:center][tex=4.0x1.357]oo1lS5dYV0Xyj4L2WlHwbA==[/tex]