设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是交换整环，[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上的一元多项式环，[tex=3.857x1.357]08KAQS07lnW3KbEsVzyEgw==[/tex]，证明[tex=9.643x1.357]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr83w8M9eAgpYDtrTS0yKcWxYhjhe8CvfLviGuH10wMM8R3+/XGiGHeT44WaH8Se0A3pUmLGBi1p5WHBtb8TSD7YH8=[/tex]，试问对一般的交换幺环，上式是否成立？
举一反三
- 证明定理：设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个有单位元的环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的一个未定元.(1) [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的零元 0 就是[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]的零元 (即零多项式);(2) [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 是有单位元的环，且 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元就是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位元;(3) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子环, 则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是无零因子环, 且 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位就是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位;(4) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环，则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是交换环;
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是交换整环，[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的分式域，[tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]是[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一元多项式环，证 明[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上的一元多项式环且[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]与[tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]有相同的分式域。
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是交换整环，但不是域，证明[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]不是主理想整环。
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是整环, 证明: [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是整环, 且若[tex=8.714x1.357]oVr3Dwq4mCJpVeSnaB2gBav6gzXX+4IxyzkrLDKnpT4ofCdHisdPAVuC8sqanZWC[/tex], 则[tex=16.5x1.357]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr83y9aNKwSst378OWInw7DpxyGmQvFvzv47TsWEB5CANufqeVJfC5Y+JfjLUHVVTF8QBv5sk3NVPESDFkfmPLVHWl2szY4MP7dPrINkk8Lxn2x[/tex]
- 证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上的一元多项式环 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]能与它的某个真子环同构.