设h为X上函数,证明下列两个条件等价,（1）h为一单射（2）对任意X上的函数[tex=5.429x1.214]3BrfPgAFe5dbHQTMAYnbS+118W4YAj6CiW06EKMaxNI=[/tex]蕴涵[tex=1.786x1.214]pxzkG5OdsKT9CiCwC5OvPQ==[/tex]
证设h为一单射,假设存在X上的函数手[tex=1.429x1.214]H8qsSWZYwXBt+UVrO31MrQ==[/tex].有[tex=3.929x1.214]7wNnBnvdEKhfNPbjXemdfjRrB52mL+n5pacoLt9+YHw=[/tex]而[tex=2.357x1.214]O7dXzUm7sMQeH+z4JXQ4vQ==[/tex],那么有[tex=2.071x1.071]gwHL4cYLWCcdviaJLqw1sA==[/tex],使[tex=11.071x1.214]o+3mN4kMqtbRBTQTuqe/j6r1Dz2lzLpN0HL8MBd842k=[/tex],且[tex=3.071x1.214]AOHV53HWmddzd4NKsbUEOVuL/f1D8gi+zwRzcWeO+5I=[/tex]因而有[tex=13.0x1.357]595pvehO77YVZrOPFyccCc1ngVDhz+An0s7VqC8RU1nEnv0FkiEnvI6fne7vcAVoGY5mVs7oahqSzaS3yQmE316SF6lq77vlc4+z1WqPxjI=[/tex]由h为一单射知[tex=6.071x1.357]yAoBSS0RdOaRy5ngGkRb30eCyKxmfq73ksNRSsd1RzLFtwuMJBqtxXEs/XB6eb3C[/tex],即[tex=7.357x1.357]fngcqmSVvrWpzENsPfYXhIIYMZA9SqTaXdw9/mdf7aYeIJl79O+FQGw9XeKeF0no[/tex]与已知矛盾,所以[tex=2.071x1.214]McF5oa8PUkJ06ySb5rISYA==[/tex]故对任意上的函数手[tex=5.429x1.214]3BrfPgAFe5dbHQTMAYnbS+118W4YAj6CiW06EKMaxNI=[/tex]蕴滋[tex=2.071x1.214]McF5oa8PUkJ06ySb5rISYA==[/tex]若对任意X上的函数[tex=5.429x1.214]3BrfPgAFe5dbHQTMAYnbS+118W4YAj6CiW06EKMaxNI=[/tex]蕴涵[tex=2.071x1.214]McF5oa8PUkJ06ySb5rISYA==[/tex]反设h不是一单射,那么有[tex=6.786x1.214]n8uz+ppsO3sdhOumELxhYDDizbddTJ2bK08PyBQylEQ4oe95BfLMoz+94XdutgCW[/tex],使得[tex=5.714x1.357]yAoBSS0RdOaRy5ngGkRb35AQ6YtFJ32e2198Mudve5yaMsHhYTv7d5GNvrvfCeQ7[/tex].现构造X上的函数[tex=1.429x1.214]kPh+FHWBPmYJHd/Njak8uA==[/tex]令[tex=11.571x1.357]c4OlizjdCRtXhPXx3JG8c9jb6ZLv3fmyghaI2n1h4VZ7bjKVixbLoyZf8Dz+rGuyRwfnVnvlGGJ23t9fdhRsShy4eEHLs8zBeqgdyIfa1ps=[/tex],而对任意[tex=10.0x1.357]MvHlu6dLYV7iDlJ9f8dfDM7N/xIAfSPEOEuPgaS/uKuxpvxRym3K8vd6JoBm0KJE[/tex].从而[tex=2.357x1.214]C7WD+ZJObz+033bTc6HzOA==[/tex],但是对任意[tex=9.0x1.357]KqKckb3mlUmZ8fqaLH1mJNg6qO9ZuiLceAXnu7Rw0YIuCgh+yQX9M2chnxKIALQB[/tex],即[tex=3.929x1.214]lFc3ozmkxjbteB7m4QNvSqcFHscfcf7K59DwVPFU32c=[/tex]这与假设前提矛盾.h为一单射得证故命题(1)与(2)等价
举一反三
- 设h为X上的函数,证明下列两个条件等价。(1)h为一满射,(2)对任意X上的函数[tex=5.429x1.214]OREhy0bsXZWZ6y8PdI7nwHYlaKprN6KYnR/FCpmEbdk=[/tex]蕴涵[tex=1.786x1.214]pxzkG5OdsKT9CiCwC5OvPQ==[/tex]
- 设函数f(x)在[tex=3.286x1.357]64m0xE4nFlaKGIakApV0PA==[/tex]上连续，且有f(0)=0及f'(x)单调增，证明：在[tex=3.5x1.357]vgrW1/jK/GZ1TOWaPFIQWA==[/tex]上函数[tex=5.071x2.429]KmCvFjqAEA9O51+9erVGP+KtDDqVtXZQWqxj1eiTO5k=[/tex]是单调增的。
- 设随机变量 $\xi$ 具有对称的密度函数 $f(x)$,即$f(x)=f(-x)$,证明对任意 $h>0,有:[tex=16.0x5.714]qlmQA1D8xtk2KTRQ/XTaGu/EiNAMcSZvQOLN/o9oTzkJDDaZqPzVFFOEYV0IlvIxg+NLbN5HBxE9HqdnYcUMk7x3J71PLc6IhnZMY4AlQxXAfAOaQfAg5wIdOMyd2MjRq5Bg1tTortQBDyYNTTp6nTzqLiGnNc7VRx/woKeV7i0=[/tex]
- 设函数[tex=9.857x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iNRy0HoEseEeocwsJOAUYPFfxnlf03Dq/qr3L/peWpqaV95iNHmkTLa8xv53PeIiMQ==[/tex]为[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]上的恒等函数，证明:(1)[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]是单射
- 【单选题】已知f(x)=5,g(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 , 其中x,x 1 ,x 2 ,x 3 均为自然数,新函数h可递归的构造如下:h(0,x) = f(x), 且h(S(n), x) = g(h(n,x),n,x),请按递归式进行计算下列式子,正确的是_____。 A. h(1 ，x) = 5 B. h(2 ，x) = 5+x C. h(3 ，x) = 5+2x D. h(4 ，x) = 5+3x
内容
- 0
设f ,g ,h 为实数集上的函数，f (x) = x + 4,g (x) = 2x + 4,h(x) = x/2,则f ° h° g = 。
- 1
对于以下两种情形:(1)x为自变量,(2)x为中间变量,求函数[tex=2.214x1.214]sy9gaFRMGlrH59gm9bWSDg==[/tex]的[tex=1.5x1.429]5W5tOYbJ+LlsRP2dMsi4byxwtjvvL/3u7NEzPV5PWp0=[/tex]
- 2
函数\(y = {x^{ - 4}}{\rm{ + }}2{x^3} - 2x\)的导数为（ ）. A: \(4{x^3} + 6{x^2} - 2\) B: \( - 4{x^{ - 5}} + 6{x^2} - 2\) C: \( - 4{x^{ - 3}} + 6{x^2} - 2\) D: \( - 4{x^3} + 6{x^2} - 2\)
- 3
设随机变量X的密度函数为[tex=10.786x3.643]VChR2LteFYCLypbVrMitbrg/Jyu8kqSU7sLMQGqNoYbZiO5Oi8A/FeFntjZrRJA7dTpOjBFm7aOCqR6s1CbFXg==[/tex],求X的分布函数.
- 4
设一元函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积, [tex=7.071x1.357]E/j5UlDIh6qL636N99QPV6LkbipqUNyX5I3z2e70KTk=[/tex] 定义二元函数 [tex=10.143x1.357]zsnfiTpHrD3wrQxi2c0Jcou8z6mWyLA2CJj3MsZtrCE=[/tex], 证明 F ( x , y ) 在 D 上可积。