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  • 2022-06-18
    设函数[tex=9.857x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iNRy0HoEseEeocwsJOAUYPFfxnlf03Dq/qr3L/peWpqaV95iNHmkTLa8xv53PeIiMQ==[/tex]为[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]上的恒等函数，证明:(1)[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]是单射
    • (1) 证法一:对于[tex=4.357x1.214]06ltROu/jdOYKCxcvkkMeaPILrzDdKuKBHhoVPLACRs=[/tex]，因为[tex=1.5x1.214]J35R9HdOz2R9Fje8ggoo9Q==[/tex]为[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]上的恒等函数，故有[tex=10.714x1.357]gnlon6eIYFC+AZ9grtwWwQ97zoyBqz6MeQAtX71N7+hAu0s2jsc9/ztqsZHlpCXWpfZKP4mmQG3DZSt7zsa1etaO80pe7wyxKiQWIRmAZj4=[/tex]和[tex=10.714x1.357]gnlon6eIYFC+AZ9grtwWwQCda7TLANZPcvNS4svSSh9g9+DKtBzbVl72cRR2hzplZZm1ShC0k8mkQoorVogUhNxhwG+1MOcfZVJGRypSDQo=[/tex]若[tex=3.214x1.214]69B//1ppmpO6dITJdPl9PTrrKkcnPCpKms7TZXERgao=[/tex]，即[tex=8.929x1.357]6OXTMK5ghr8OJVP3wjXqIL3gC1/pN88Brt8wpAEnVBqh85FpVpuqAMn+PSECAGl6yo5GiCE77iI4Q26vZf5uf8lPMIGkyVrSfMduCRSqVQA=[/tex]， 因为[tex=3.786x1.214]gBai7zm/w8rlTPHuNLMRfcNEN7nABTGWrMVE4BncFZ8=[/tex]是函数，由函数的定义可知[tex=6.071x1.357]Z2riqUgTYMx0/HPi+lkEDCGW9enKf5p/30U+oKNlCFFZbd4BmZuYipjX7fk5iTR8[/tex]综上所述，对于[tex=4.357x1.214]06ltROu/jdOYKCxcvkkMeaPILrzDdKuKBHhoVPLACRs=[/tex]，若[tex=3.214x1.214]69B//1ppmpO6dITJdPl9PTrrKkcnPCpKms7TZXERgao=[/tex]，则有[tex=6.071x1.357]Z2riqUgTYMx0/HPi+lkEDCGW9enKf5p/30U+oKNlCFFZbd4BmZuYipjX7fk5iTR8[/tex]。由单射函数的定义可知，函数[tex=4.357x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMi1uu1iRskNUlgfpNYbs1U=[/tex]是单射函数。证法二(反证法) :假设函数[tex=4.357x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMi1uu1iRskNUlgfpNYbs1U=[/tex]不是单射的，则存在[tex=7.429x1.214]IjSrbYLTVxKxuID2DVOos0iMOm7h+dF3qr4ZNiGabzRzA3k5LZ0jLZPCg/vFu4j+[/tex]，但[tex=5.714x1.357]Z2riqUgTYMx0/HPi+lkEDEDFQ7zfd5sD0rFKyw8Zl9a6h9bqBr1zZFnQ7uxfgMqh[/tex]， 由于[tex=1.5x1.214]J35R9HdOz2R9Fje8ggoo9Q==[/tex]为[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]上的恒等函数，因此，[tex=5.071x1.357]gnlon6eIYFC+AZ9grtwWwWkszkwcp7UvCe1ZsWvPlSAWT/6cYYulB3i7rW7tPlUz[/tex][tex=16.786x1.357]6OXTMK5ghr8OJVP3wjXqIL3gC1/pN88Brt8wpAEnVBp1UclWT9rOCpT8EqtPOlfaVMzuMPEQdal8WKi+QJ7MUWJScZlnTPQGFNd8h0s4j3IepgXRt+Wp+tyH56rYYmTtQ37t2gw+vapx8tlKMNA8ZQ==[/tex]，由[tex=3.214x1.214]69B//1ppmpO6dITJdPl9PTrrKkcnPCpKms7TZXERgao=[/tex]，可知[tex=3.786x1.357]6OXTMK5ghr8OJVP3wjXqIL3gC1/pN88Brt8wpAEnVBr98zhJ7Uvhwu1K3czJR2tH[/tex][tex=4.857x1.357]mJAp1HxnQH/jfZcIFLKxooI1wu7IHi2kWx0UnbN/FS+Jx+buhyEW1fO0buA6hJW+[/tex]，又因[tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex]是函数，故有[tex=6.071x1.357]Z2riqUgTYMx0/HPi+lkEDCGW9enKf5p/30U+oKNlCFFZbd4BmZuYipjX7fk5iTR8[/tex]，这与前边所述[tex=5.714x1.357]Z2riqUgTYMx0/HPi+lkEDEDFQ7zfd5sD0rFKyw8Zl9a6h9bqBr1zZFnQ7uxfgMqh[/tex]矛盾。故假设不正确，[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]必为单射函数。
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    举一反三

    内容

    • 0

      (1) 叙述无界函数的定义；[br][/br](2) 证明： [tex=4.0x2.357]Skzfc0ZxjrbUnQ48HU5E0tXmPoDSwwji7Ikqu4Ix2eQ=[/tex]为 [tex=2.286x1.357]IVQHL7gpVvGMeTU2JgKtIg==[/tex]上的无界函数；[br][/br](3) 举出函数[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]的例子，使[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]为闭区间 [tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]上的无界函数。

    • 1

      6.设[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]为区间[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]上的单调函数，证明：若[tex=2.071x1.214]uZALtAU1binRI5TJxsGXbiEQukpWazitXMwcS5eDdtY=[/tex]为[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]的间断点，则[tex=0.929x1.0]tstbm1OuPyfyNcfVXQkZzA==[/tex]必是[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]的第一类间断点。

    • 2

      （3）举出函数[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]的例子，使[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]为闭区间[tex=2.0x1.357]khGQOVqy3eZik4Tp7/+YjA==[/tex]上的无界函数。

    • 3

      设定义在[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]上的函数 [tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]在0,1两点连续，且对任何[tex=2.0x1.071]syzvlYhv03GursgOyzwpOQ==[/tex] 有[tex=5.357x1.571]xu0ko2uR2HW/rSlh5BJHAPPr9ce/ZjkDTURfal+EWLA=[/tex] .证明 [tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]为常量函数.

    • 4

      设h为X上的函数,证明下列两个条件等价。(1)h为一满射,(2)对任意X上的函数[tex=5.429x1.214]OREhy0bsXZWZ6y8PdI7nwHYlaKprN6KYnR/FCpmEbdk=[/tex]蕴涵[tex=1.786x1.214]pxzkG5OdsKT9CiCwC5OvPQ==[/tex]