证明:只含有限个点的度蝠空间都是离散的度瑚空间.
设[tex=2.571x1.357]RUJ/Tt2raOklywg1mc6VVQ==[/tex]为度量空间,并且 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为有限集,只需证明[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一子集都是开集. 因为[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是有限集,记[tex=13.571x1.357]XnPiuQClpErhQfjtwlT+qZh46U0rnTxUP6rrBvtY62yfuueAVYe+nTS5+KrnhpxMquvKxvgy48DIxqFrO+y5wg==[/tex], 则对[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]中任意一点[tex=7.5x2.214]egL7A3WTB0fgm1czPBO/jtZtus/c09R5wGZ8cG7dZvYUQKujHv2cuGeKz5og4xWGxIavReVKS1p3ekPal/OCTrcu0wqIA/xB7V93+Zp5wxg=[/tex], 即[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]中所有单点集.
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举一反三
- 证明：只含有限个点的度量空间都是离散的度量空间。
- 设X是一个度量空间，证明：如果X有一个基只含有有限个元素， 则X必为的只含有有有限多个点的离散空间。
- 设X是一个[tex=1.0x1.286]rIp/+zQfCOBqyYIT+1a8eg==[/tex]空间，证明：如果X有一个基只有有限个元素，则X是个只含有有限多个点的离散空间。
- 设[tex=2.571x1.357]RUJ/Tt2raOklywg1mc6VVQ==[/tex]为度量空间，并且[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]有一基只有有限个成员，证明[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]必为只含有有限个点的离散空间。
- 证明：离散空间（平庸空间）的任何一个商空间都是离散空间（平庸空间）。
内容
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证明：从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射。
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设Y是一个离散空间，并且含有不止一个点，证明：拓扑空间X是连通的当且仅当每一个连续映射[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]都是常值映射。
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证明：任何一个有限补空间和任何一个可数补空间都是局部连通空间。
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证明任何有限维赋范线性空间都是自反的。
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平庸空间，离散空间都是紧致空间