设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群, [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]为素数, 如果[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的每个元素的阶都是[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]的方幂, 则称[tex=0.643x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是 [tex=1.286x1.143]vikZ5IETzFUhr/XXJaCTNw==[/tex]群. 试明: [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] -群[tex=2.643x1.357]bMRrINhuwlMbjrHDeWypomqE0sSN5MJ+eiwzTwbj5cQ=[/tex]是[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]的一个幂.

2022-06-11

设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群, [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]为素数, 如果[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的每个元素的阶都是[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]的方幂, 则称[tex=0.643x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是 [tex=1.286x1.143]vikZ5IETzFUhr/XXJaCTNw==[/tex]群. 试明: [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] -群[tex=2.643x1.357]bMRrINhuwlMbjrHDeWypomqE0sSN5MJ+eiwzTwbj5cQ=[/tex]是[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]的一个幂.

答案：

证明 显然, 当[tex=1.643x1.357]IUx5o49wKkw0ysEh7ZvvKg==[/tex]是 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]的一个幕时, [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] -群.现在假设[tex=1.643x1.357]IUx5o49wKkw0ysEh7ZvvKg==[/tex]不是 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]的一个幂. 于是,存在素数[tex=2.286x1.286]MtR0r4coTd1w2buXJ/RgRg==[/tex], 使的 [tex=3.857x1.357]jGRHo/nS25FbOwB/jFLFVU2n+dJKDtHhNYhLHYEbvD8=[/tex], 其中[tex=6.857x1.357]36Kix2tR0msg25ibSZLVIZejXvCrXUP2lxw0CMJxEvY=[/tex]根据 Sylow 定理, [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 有 [tex=0.857x1.214]b8DiIan7ouwF/XlaRlZm0Q==[/tex]阶子群[tex=1.143x1.0]moLh6623p15O6CugpA/6+Q==[/tex]所以[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]不是[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]-群.

举一反三

内容

0
证明： [tex=1.214x1.214]ScStugUriwqyCQRBKnOJJA==[/tex]（[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]是素数，[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]是正整数）阶群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]必含有 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]阶元，而且[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]阶元的个数是[tex=1.786x1.214]8v4v/U7r11MjwmAm/dbdDQ==[/tex]的倍数.
1
有限群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]群, [tex=3.286x1.357]330eCk1bxaF4/3Ul6JYmxg==[/tex] 在 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 上有群作用,且 [tex=3.5x1.357]EiHGJtwG/B2+UgTt3nbAJQ==[/tex] 则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 在 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 上有不动元.
2
证明: 有限群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 有唯一的 Sylow [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 子群 [tex=0.929x1.0]valnMSlSgJr2OU03k/LmqQ==[/tex] 的充分必要条件是 [tex=0.929x1.0]valnMSlSgJr2OU03k/LmqQ==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的正规子群.
3
设[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]是奇素数，[tex=4.643x1.357]E5fABypDlDAHW0PyVDx6YEo5hcCo6CGvQOY/OcT5Fnw=[/tex]，[tex=2.286x1.214]ii6RO4tQO3ZQP4rKH6kl/Q==[/tex]为[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的极小生成元组，且满足[tex=5.357x1.0]IWcpWTPewXEMOPv490AgE+RJ33NGCEUd3/INzKv/b6w=[/tex]，[tex=3.714x1.0]tjh2v0xu0AC3w9r7c4mvEw==[/tex]，[tex=3.714x0.786]vbor3dZ2OM57F/KTqI1qWw==[/tex]，[tex=3.571x1.0]XM4lI2amEsE9bCwUzQdmKA==[/tex]，其中，[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]为 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的幺元，试证：[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个[tex=0.929x1.429]MVS4RlghSCHqxjLdODu8QQ==[/tex]阶群且除幺元外的任何元素的阶均为[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]。
4
设[tex=0.571x1.0]8Zvs4k1E3PJv6bLQN1OWcg==[/tex],[tex=0.5x1.0]BwbMcfFB7+ux6m5GcvMVvA==[/tex]是素数且[tex=2.286x1.071]bGsEjrC6qqEk3r8qGzYGDQ==[/tex]，又群[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.571x1.0]8Zvs4k1E3PJv6bLQN1OWcg==[/tex]阶群，群[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是[tex=0.5x1.0]BwbMcfFB7+ux6m5GcvMVvA==[/tex]阶群，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]过[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的扩张，试证：[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]一定是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]过[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的非本质扩张。