证明：如果有限[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] - 子群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有一个指数为[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]的子群，则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个循环群.

2022-06-09

证明：如果有限[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] - 子群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有一个指数为[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]的子群，则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个循环群.

答案：

证：设[tex=3.143x1.357]hDpS01yNyebfhmamm3lyIQ==[/tex]，并对[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]用数学归纳法.当[tex=1.929x1.0]iy49FZmj3Bn8sRaLZpfrEw==[/tex] 时结论显然.假定对[tex=2.5x1.071]EnLp0Tvr/jBx/WkTM3ye6w==[/tex]时结论成立，下证对[tex=3.143x1.357]hDpS01yNyebfhmamm3lyIQ==[/tex]时结论成立. 设[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的中心，而[tex=3.143x1.357]BY5y0nrUtVq1oXJBX7WoJw==[/tex]，故[tex=4.857x1.357]G7eElWg4l8SWOOLyUowmiw==[/tex].而由题设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有一个指数为[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]的子群[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]，再由于易知[p=align:center][tex=15.0x1.286]vA3KTLLe2p1bnqd0WGZrr5k8J8mXYI2Apkt02hPf+9tjHJBfV8ptismHkizB+Zm6wJbHYgY1NQJPob9Ipprq1Q==[/tex]从而商群[tex=2.071x1.357]eww8JXV0hpGoH49vLiIFyw==[/tex]只能有一个指数为[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex].的子群. 于是由归纳假设，[tex=2.071x1.357]/PqGAdTl+fUN7c1xelYH+A==[/tex]是循环群. 从而，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是交换群. 因此，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限交换[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex].群，根据基本定理，设[p=align:center][tex=12.071x1.357]Sy3IEn5rRjczP9rtKMGIf+AjS1S+d0m2rBIjBzN6x7cTQnq29u2THtb1ldZhhT1tYQEuz5uVzBZN6Kwq7Dvjn+xyxhC57tGM5aUzXdy9ZgXk46dtK2OfxkYvtwkbWGqmzDXecp+dHWvx4KYZsuf/XlptEfeMVs7gJHnr0Ssq5EujYyDbu25EcuDfquEKwqAD[/tex]其中[tex=9.5x1.5]jd263abtua199z1//302rPwHd83uYKt/9SBb/M6fYTluESTTzbGXTkQCc1qVdF8wmnIgv1Cp1XKY7Hjb3Gm+TQ==[/tex]如果[tex=1.786x1.071]cyjkguCmSv+vUT2bvrcJLA==[/tex]，则[tex=1.714x1.286]n1IP3yK+MCZrLTEr5EjJAWeb988l112ZDg1QSK/t807dA/7d2gEwG6QSWe8no6V1[/tex]与 [tex=1.714x1.357]/jm0IU4ydoXkUDWJ5H4iyuNVpaI/ZNsqjM4gLNb2IPJMjyhpaQ82XciEXt++KMvo[/tex]均有惟一的指数为[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]的子群[tex=1.714x1.429]/jm0IU4ydoXkUDWJ5H4iysjDS88A2pRAXNCN4nNejZE3oZSpTFkya0COEOdZu6yk[/tex] 与[tex=2.143x1.429]/jm0IU4ydoXkUDWJ5H4iym4Vb8Wdg3hADwGRLL1sjyLeyafYESl3pUsbdIAwlB/G[/tex]于是[p=align:center][tex=10.0x1.429]XV2nUy3dLMVuVIXZcl3mJQ0xfCriQ508ycFKQ2iqbjytdiYORfv6+68VIH0s//PZg/VLvoY4Q5Iw37mtAPvfhiM99JCOHTI9otBFypJ3RFOy5Ppk2sIm2WbFFpg7VPtrdWL9NDxlHfpLX27CumP8kj+EUbAk2pWhxGfam//P5Lk=[/tex]与[tex=13.857x1.429]CxoycbAr2m3kk0I18Pp7/AS3Ok3lukV1ziKUj2IPJEtb62bvaTUXtpUpWx4aC4Y20m9wZ45WMZ7ZyInfIgV6mfgoe2ISNj4Wn7rOrKNEVP9zL+GAqsiYTp83uwws7AtmSom+BVX/0TEmCAqkw6U4ZyRnCvYa79+TJR2zFQXgJmCu+QTzxk09I97IwNq+viTtsAjXbu3UIaZeIoS3a7a70zlpVD4M1jV1MFG/xarLwc4=[/tex]便是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的两个指数为[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]的子群，与题设矛盾.故必[tex=1.786x1.0]FmR+PlFi0xYhm0ukoA8kEg==[/tex]，即 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为循环群.

举一反三

内容

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[tex=0.643x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶循环子群当且仅当 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶元.再证 :[tex=2.071x1.357]uDUdwqeJnLoclMiXU3BK6A==[/tex] 是素数 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 阶群,则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是循环群.[tex=2.071x1.357]leZ2dm1/uybUxLAV8A9gwA==[/tex] 是[tex=1.071x1.214]QNlCeTWiPvK4dPwBORP+PQ==[/tex]阶非交换群[tex=1.0x1.0]zdNN1O/FkAWt1pjWeDlxUg==[/tex]素数,则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 必有[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 阶子群.
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设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的任何真子群都是循环群，试问[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]一定是循环群吗？
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[tex=0.643x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的阶是 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 的方幂， [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]是素数,则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中有[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 阶元.
3
如果有限群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有且仅有 3 个不同的子群,则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 必为循环群,且[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的阶数为[tex=2.357x1.0]jFLnBRxb8B7Hy+eXhKLWag==[/tex] 为某个素数.
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设[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的有限子群, [tex=2.786x1.357]gGafzCAY5HUDydhqr4pyuw==[/tex].假设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有一个阶为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的子群, 证明：[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的正规子群.