证明：[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶群的自同构群是有限群，且其阶是[tex=3.0x1.357]6OWg+IH3rwNvHaYAql7/8A==[/tex]的一个因数.
举一反三
- 利用 [tex=3.0x1.214]I9psdUGBOrfOzNdHy0WXOA==[/tex]定理证明具有给定阶 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的不同构的有限群只有有限个.
- 设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个[tex=1.143x1.0]cLn0Gr6CnaTTCPqvS7e1NQ==[/tex]阶有限交换群，其中[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]是一个奇数. 证明：[tex=0.786x1.0]JUr53aL1O6s9D+V6Y3g72w==[/tex]有且只有一个2阶子群.
- 在所有[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶循环环中，有且只有[tex=2.0x1.357]X3uzKq0K0U5kGuP0kpvE9w==[/tex]个是互不同构的. 其中 [tex=2.0x1.357]X3uzKq0K0U5kGuP0kpvE9w==[/tex]表示[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的正因数的个数.
- 设[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]是一个偶数，试证每个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶群都是幂零群的充分必要条件是[tex=2.286x1.214]eODeiSeb3AImTXhrlrErlw==[/tex]，[tex=2.0x1.071]/9E9Zuw0gy0gp8mzmez1/Q==[/tex]。
- 证明: 若 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是素幂阶的加法群 (设 [tex=3.0x1.357]a7uXzahMuzHg0JeOACJ15Q==[/tex]), 且每个非零元的阶都是 [tex=0.786x1.0]G+Pzx7N7YMzU9YG9YyO2Jg==[/tex] 则[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 同构于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 阶循环群 [tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex] 的直和[p=align:center][tex=10.214x2.929]bTuRUhM0Be1JoQxCqHaorDti88AE1+eToZN0LwhAAwFAeFQxSI4cMWTHOasWRLg72Vf6S//wG0G0lXWSBvlXNh9cqgBPlMQTtIui+j2/3vRt6xhh8t3GT9BkERlGWTuv37k7IETyYhIhJwz1+Mt7LQ==[/tex]