证明 : 定义在零测集上的任何函数都是可测的.
证设 [tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex] 定义在零测集[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex] 上的任一函数,因为 [tex=14.786x1.357]IL7EILu6jmAvtEtv/hGVnlehtZJM1uNsT4dht/wbkVmyQx2L95921heXE3ryb0vQup4+ZgcLHQaHocw1/ekzElpnQ16Fm0mgag36i+Shrmg=[/tex]而 [tex=2.929x1.0]9mXCEIN35nB0ZGsK1TAG3w==[/tex] 故 [tex=6.143x1.357]ZUmiqKdczkz/Dco7BRjl0MtI+NDlNKAJ7/YDVMimn3c=[/tex] ,从而 [tex=4.0x1.357]IL7EILu6jmAvtEtv/hGVniI6FGtKRDCCkPA7Qftzd7s=[/tex] 可测,故 [tex=0.5x1.214]CW+zDFLSlIDAQ6JM8Or2LA==[/tex] 在 [tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex] 上 是可测函数
举一反三
- 定义在零测度集上的任何函数都是可测的. (<br/>)
- 定义在可测集上的任何单调一元函数都是可测函数.
- 证明定义在勒贝格测度为零的集上的函数 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是可测函数.
- 定义在可测集上的单调函数一定是可测函数。
- 试证明下列命题：设 [tex=6.571x1.571]eSBAw3ddS33i4HOhDJIk60tnbgg5wanIfS1z+algLFp59XqgrjBzC+bAc3mnfm5C[/tex] 是 [tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex]上的可测函数. 若对任意的零测集[tex=4.143x1.5]xWRL/LhE42RITd7HH5Z6LQ==[/tex]是可测集,则[tex=2.929x1.357]LywYpFx2ldCQ8Gg2MwlK4g==[/tex]是可测函数.
内容
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若为可测集上的可测函数列,,则函数为上的可测函数
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证明可测集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的常值函数 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是可测函数.
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可测集上的连续函数一定是可测函数.
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设[tex=1.929x1.357]RevLkhi3SGyzprJhs24B/5CFtbgoxQO7gUo6uJd6zRc=[/tex]是可测集[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]上的可测函数列，试证明它的收敛点集与发散点集都是可测的。
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证明可测集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上的连续函数[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是可测函数.