设 [tex=5.857x1.357]gfTyftYv3vx5MA+ZCm0ioTLxy7oVEpeq/Rn9ytEwYJE=[/tex] 证明：若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上恒不为零，则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上恒正(或恒负)。

2022-06-15

设 [tex=5.857x1.357]gfTyftYv3vx5MA+ZCm0ioTLxy7oVEpeq/Rn9ytEwYJE=[/tex] 证明：若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上恒不为零，则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上恒正(或恒负)。

答案：

证明：用反证法。设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上非恒正(或非恒负)，即至少存在 [tex=7.571x1.357]Fi6Ev0BCk71+M5LcYNGz5ykjxS+9LGrRCwxhCEQPXuwYhwrNPwsg1FgU/YViGPKs[/tex] 使得 [tex=7.0x1.357]Z2riqUgTYMx0/HPi+lkEDEJeEkqzhQ7jeMpQTvYW9hRb6w1iP5J8UONKcfXIXkbk7AUhZVnCgS4oiI3koUWFpQ==[/tex]，在闭区间 [tex=5.786x1.357]ej80LYweWXSAgxV2FEjFvGUFvmC93o8/VCOV0cTRUbUGob1zwP+dj8WSCbFfkkT8[/tex] 上应用零点定理，则至少存在一点 [tex=4.571x1.357]8RKkFq3VSakwEC4oKbM3pEgSm9Yq6+XfV37LsFw2k0BLM+E6oNA+N0rmpUEwkAxb[/tex]，使得 [tex=3.0x1.357]LbNzANZtjyC7VENhFNLL4Q==[/tex]，这与已知条件 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上恒不为零矛盾。

举一反三

内容

0
设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续,且对任意[tex=3.214x1.357]xP0cVXsX4KwARdTCJK3cIA==[/tex]都有[tex=4.0x1.357]Eqm6lC0ExQ+nLU8WEneWuA==[/tex]证明:[tex=1.857x1.357]QwcZRP/k6GQjt3RgosTUtg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上恒为正或恒为负(闭区间上连续函数性质之一,即保号定理).
1
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续, [tex=3.143x1.357]VkAf+7dPgAsudsASsRrclFC+KUW6Xe95OxzRy+Zeu14=[/tex] 但不恒为 0, 证明[tex=6.5x2.857]NY7oodrirBbiImTnksGISenwQD7jqxjrSprUsJirzVY=[/tex].[br][/br]
2
下列命题中正确的是. 未知类型：{'options': ['若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 中有界, 则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 上连续.', '若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上有最大值、最小值,则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 上连续.', '若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上无界,则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上不连续.', '若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内连续,则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内有最大值、最小值.'], 'type': 102}
3
设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在区间 [tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 上有连续的二阶导数, 且满足方程[tex=14.429x1.571]U41nrZ8sFZRAWsWXSvjhVzXc/zorqggy7vn17stAMrS0JoUO+mdm3vKZxJGbxsqHsNP8nn2u8gY1LN3aPWlBUklOaiRKAqFHyESchNC5j/A=[/tex]，证明:若 [tex=6.714x1.357]mMYUeNAe38X+/GvdLKmvRw==[/tex], 则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex]上恒为零 .
4
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上一有限函数，那么下列两件事等价:(1)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上满足 Lipschitz 条件,(2)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上某个有界可积函数的不定积分.