设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续,证明： [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上恒为常数的充要条件是：对于任何 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的连续函数 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 且 [tex=6.0x2.857]yINAHOXKHG7ruMsL/vkvBEYj6HewtfoBmgOlOkEMcJy2RxHEgnyJ8vpzCdsSLoLZ[/tex], 总有[tex=8.143x2.857]7gcaGQKU+5R98xRnVkbRSL4g1A5RDN/b3vHA6tm2w1heBr45R4BeYC3/TzlbrSns[/tex]

2022-07-23

设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续,证明： [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上恒为常数的充要条件是：对于任何 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的连续函数 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 且 [tex=6.0x2.857]yINAHOXKHG7ruMsL/vkvBEYj6HewtfoBmgOlOkEMcJy2RxHEgnyJ8vpzCdsSLoLZ[/tex], 总有[tex=8.143x2.857]7gcaGQKU+5R98xRnVkbRSL4g1A5RDN/b3vHA6tm2w1heBr45R4BeYC3/TzlbrSns[/tex]

答案：

证 必要性是显然的,只需证明充分性. 设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的平均值为 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex], 即 [tex=9.0x2.857]JTRSxZqncEc0AysyLwKYRNWxtHe/jJoSuRGo4DRhOvT7UVDu7OQIkryR1/vr2m5f9lJQu3OZcL2Jz3y5kI+jew==[/tex] 对于 [tex=6.143x1.357]ZJg9sw8ufH2DMfkpjtFSng==[/tex], 则有 [tex=14.357x2.857]yINAHOXKHG7ruMsL/vkvBEYj6HewtfoBmgOlOkEMcJwDFrerfd5bOu3dy/OQ1L2n3dDP9BwpuaiSBU1mG/HpnfUDGgls7YUyG3hZv9+aaCY=[/tex] 于是[tex=32.714x2.857]/sYqrtVYXbdpm/FtVCOdbFI7cYMXVFWIFYQLTvSwqn6uVaB67XkAeiL7aiHkL80CL9Q2TkM13w7eY8lkU1XuO4CLTTn3T4U7poxKW/gZcunZ24tWonkhse8AVk6nqLNCkbGJp++GEROEVonYoMbyanJ4ucwDBuq+r+KPKGlBGG2hXjQd4wFa+RyQHMMwQ6+UWb4RRJWtHTN9H1oBdJoSrw==[/tex]于是有 [tex=4.357x1.357]DJpaUllIAvcGc0rVqXWa8jknbZqxYCmSgHiZJwu9LG8=[/tex]

举一反三

内容

0
设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]和[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]在闭区间[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上可微分.若有[tex=15.286x1.429]w6PVZnaDpV6OaJNAIufU/EP72TSbtHUhUz3G8wlhoSJsnDJY5w2KW+OV5pMFmANpOBZQCiaWdWSXdWajFQZ4nQJlvKNW65f/vV59CfSLqxU=[/tex]证明:[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在闭区间[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上的两个零点之间必有[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]的零点.
1
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续, 且 [tex=6.429x2.857]v8dYDmjeifbMxF1xMKtGGOROme7UMSqlNsxt5NS/Crc=[/tex], 证明 [tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]iavJqAznijPyoXL3RTXYGA==[/tex] 上恒为 0 .
2
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续,且 [tex=6.0x2.857]7gcaGQKU+5R98xRnVkbRSIZeQycDILDp774ddeLCq9+xTPBrwn/YuCyyH3LK4UvD[/tex], 求 [tex=7.214x2.857]7gcaGQKU+5R98xRnVkbRSHslTEkCPSgSErLYy4ywmeIB74rKlvMiwTzeAeycDDil[/tex].
3
试证明下列命题：设[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上的绝对连续函数, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex] 上满足Lipschitz 条件. 则[tex=2.929x1.357]caiMPTPQ+q4cVnb/XIYcZA==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上的绝对连续函数.
4
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续,在 [tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 上可导, [tex=5.857x1.357]/v/rbm8y94xQjBrlnxRxnA==[/tex] 又[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续. 证明 : 一定至少存在[tex=3.143x1.357]3v9HBq0lFtIDOP11f7lbPg==[/tex]使得[tex=6.5x1.429]aWJWVBG3St35JwVMiGniOlnSiyAS3oZDWEyWQ5Lx8fx4MchmEpw2xhyFVGP0Nayc[/tex]