设[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个非空子集. 证明: [tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的全体左(右) 零化子作成[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个左(右) 理想. 称其为[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的左(右) 零化理想.

2022-06-12

设[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个非空子集. 证明: [tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的全体左(右) 零化子作成[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个左(右) 理想. 称其为[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的左(右) 零化理想.

答案：

证：用[tex=0.857x1.214]lMA1Gz5mvD3nEYL1fjii5g==[/tex]表示[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的全体左零化子作成的集合,显然 [tex=2.0x1.214]fmSyzcEkZ7qoXHFO/8Ij8w==[/tex]. 又当[tex=2.786x1.214]v38+XgDAmZZCGqummVb2kA==[/tex], 即[tex=5.071x1.214]wtsqeaGV/c5LFbwXDNAEXQ==[/tex]. 于是对[tex=2.429x1.071]OOHaaJ50YijCrKrKOLJ4ew==[/tex]及 [tex=1.929x1.071]2OUq21rjHeRlVXMBwK5x1Q==[/tex]有[p=align:center][tex=15.071x1.357]UulQ3TENtDl6dfzbTHoOJHj3pM34mygxqPUlVq4RO82Cug1DPzjXciciNgktRzDa[/tex]即 [tex=4.5x1.214]KFixMTkTGMR1v2YjVpnnN8cJRzv/gXFQLzrkYvpZb00=[/tex]. 所以[tex=0.929x1.214]C2d8IgD4OKHVhRtvLddkOA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个左理想.类似有 [tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的右零化子和[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的右零化理想.

举一反三

内容

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设[tex=4.929x1.286]i/qcPsD1vRQLSn0RZoXrsgLjKM36B3W2jm4OmIlwfLk=[/tex]是环的满同态, [tex=4.071x1.214]SiRVlrhktVucT71/mAOaxmAys0F2t4rxKTwGk7ytUJA=[/tex]. 求证:[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中极大理想与[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中包含[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]的极大理想是一一对应的.
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设[tex=4.929x1.286]i/qcPsD1vRQLSn0RZoXrsgLjKM36B3W2jm4OmIlwfLk=[/tex]是环的满同态, [tex=4.071x1.214]SiRVlrhktVucT71/mAOaxmAys0F2t4rxKTwGk7ytUJA=[/tex]. 求证:若[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]是[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的素理想, 则[tex=10.929x1.5]kZ88TpOx+gcTWPcntNZOT+jINcpYTc+MX48A1QlkgddNDr1ZTUgRInhYA7Fs6drU[/tex]也是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的素理想.
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设[tex=4.929x1.286]i/qcPsD1vRQLSn0RZoXrsgLjKM36B3W2jm4OmIlwfLk=[/tex]是环的满同态, [tex=4.071x1.214]SiRVlrhktVucT71/mAOaxmAys0F2t4rxKTwGk7ytUJA=[/tex]. 求证:若[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]是[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的极大理想, 则[tex=10.929x1.5]kZ88TpOx+gcTWPcntNZOT+jINcpYTc+MX48A1QlkgddNDr1ZTUgRInhYA7Fs6drU[/tex]也是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的极大理想.
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设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是一个二元关系，设[tex=4.643x1.357]nEUU6IRp8l7+6cDZHe7XZh6bLYxNn1D/YJgkZoRpCLA=[/tex]对于某一[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]，有[tex=3.643x1.357]6bNXBI4HLw0ZEN7CivhEEeht8dRMlcBC4qQNQmndynM=[/tex]且[tex=4.071x1.357]8Aq3WaeBgRwPd/2XhZfIFM0RiN4uZIXOUIhZuj1DJ0g=[/tex]证明:若[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是一个等价关系，则[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]也是一个等价关系。
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令[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上向量空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一些线性变换所成的集合.[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]如果在[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中每一线性变换之下不变，那么就说[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的一个不变子空间.如果[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]在[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]中没有非平凡的不变子空间，则是不可约的，设[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]不可约，而[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个线性变换，它与[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中每一线性变换可交换.证明[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]或者是零变换，或者是可逆变换.