设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=2.643x1.286]Pcp8G3f9iSqumpymQTeO6g==[/tex]矩阵，[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶可逆矩阵，矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的秩为[tex=0.5x1.286]/r3Eij8VRNC5JxYjlQuXEQ==[/tex]，矩阵[tex=3.643x1.286]CpWvtjB9ucL4E7miF0UQAA==[/tex]的秩为[tex=0.857x1.286]H03VD4SCKfotrcFsRV+kxg==[/tex]，试证[tex=2.571x1.286]mAwH6XLdj9fI3H5wSTziWg==[/tex]．

2022-06-12

设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=2.643x1.286]Pcp8G3f9iSqumpymQTeO6g==[/tex]矩阵，[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶可逆矩阵，矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的秩为[tex=0.5x1.286]/r3Eij8VRNC5JxYjlQuXEQ==[/tex]，矩阵[tex=3.643x1.286]CpWvtjB9ucL4E7miF0UQAA==[/tex]的秩为[tex=0.857x1.286]H03VD4SCKfotrcFsRV+kxg==[/tex]，试证[tex=2.571x1.286]mAwH6XLdj9fI3H5wSTziWg==[/tex]．

答案：

证：由题设[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]是可逆矩阵，故[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]是若干个初等矩阵的乘积，[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]右乘[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]得[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，即对[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]作若干次初等列变换得[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，初等变换不改变矩阵的秩，故[tex=5.929x1.286]X9EfoyV2Iv3lkKSjXhpYWbGrIkNVcPqdygKgHS7zSqQ=[/tex]，即[tex=2.571x1.286]mAwH6XLdj9fI3H5wSTziWg==[/tex]．

举一反三

内容

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设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵，且[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为对称矩阵，证明[tex=3.0x1.286]+Kuu2eFUus2l0EouIu5RjNd8NcgWY09erbUFzkPnuyk=[/tex]也是对称矩阵。
1
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=2.643x1.286]Pcp8G3f9iSqumpymQTeO6g==[/tex]矩阵，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]是[tex=2.643x1.286]od1/L6lOlLzxw6EE/SK6Xw==[/tex]矩阵，[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶单位矩阵 . 已知[tex=3.643x1.286]Xo8HPto1x6wpCTPmBnMWlw==[/tex]，试判断[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的列向量组是否线性相关？为什么？
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设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex], [tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex], [tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]都是 [tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex] 阶矩阵，证明:[tex=2.357x1.286]CV5IHDzl71rjlr9NcRxgrg==[/tex]可逆的充分必要条件是[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex], [tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex], [tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]都可逆。
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设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=2.714x1.286]q3kLvZxTTYoikLzPPeM3vA==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶可逆矩阵，试证：[tex=4.786x1.286]ecvR25VqdNnwqu8xmCau28y+R9nZEB53yIixWyNVd7w=[/tex]为可逆矩阵．
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设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵，且[tex=3.643x1.286]rAf+GH2cLwL7F6W+/hBrDw==[/tex]，试证：[tex=3.643x1.286]69o6ALagbtWYYztBfO1ahw==[/tex]．