证明集合[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是无限集的充分必要条件是对于从[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]到[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的每个映射[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]，有[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的非空真子集[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]，使[tex=4.143x1.357]23z35s+omZky5GB/Xloakg==[/tex]。

2022-06-12

证明集合[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是无限集的充分必要条件是对于从[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]到[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的每个映射[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]，有[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的非空真子集[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]，使[tex=4.143x1.357]23z35s+omZky5GB/Xloakg==[/tex]。

答案：

证明：充分性。若[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是有限集，则不妨设[tex=9.643x1.357]jD3ZTNOhnmScU4AC7CRH9Dh2A0WYAZj6kVRThuQmB7Vqwm5daaqRmulY6z5I0OHRGMH1F38hvPLKwdzVq6y3fQ==[/tex]，在[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]上作映射[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]如下：[tex=3.857x1.214]rfwUdWhrTlwCzCVAO4ok0FA9bPL/lNEhsN0Gh7bRDr8=[/tex]，[tex=4.143x1.357]GyGwf1cYTaAQBnulLrUe0anL8Lala9TNK9IRgaCR3yA=[/tex]，[tex=4.143x1.357]gdeKgNvaiiV6oibPDk0FpE7MyQd/HyhXwjY1sSeqUS0=[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=5.214x1.357]kiNCThzhIiO3HRWzJEsltkm6ahISfPXS1uCS3auljrw=[/tex]，[tex=4.214x1.357]3dtn0EkMe+8WVPhjkvTcv3OEAmD/ZCMRlKncQUocIAU=[/tex]，则对此[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]，[tex=3.429x1.071]fseHT1xtamBO+b+VHQBza1SikEyDF0VM6SZzvAOKnHA=[/tex]，且[tex=2.857x1.286]hWI7nK9m7VX8ylWW1aeHSA6nNbH0pka91+vz+O9u9qo=[/tex]，[tex=4.214x1.286]garvagaq+pVgITpUybLMHNPgTfbJXEwrmSV+eqHqr8g=[/tex]。得出矛盾，所以[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是无限集。必要性。设[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]到[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的任一映射，在[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]中任取一元素[tex=2.857x1.214]J6afg0odvNlJqHgeFAKF+Q==[/tex]，考虑集合[tex=1.143x1.214]57i+bv4XsIuRL/3v9UIv5w==[/tex]如下：[tex=15.714x3.286]MxHioOWSLVRspD6jG4q6BTOSeHnS22R5+XWg5k4wGlvYywzX+/zMS6P+gzchZ1M2Ftml5CIq4V1ao3ggjAeqCSYeJHjrZkMu5a+YGr8+0YeJcMhglcPhR+2dz48lpvd2eE/zbUB6tahDY2L0bN4jQxcHAayDUyng5OXxuaPoUPs=[/tex]。$[tex=4.5x1.286]1To7oUTE1NGDnHxNaYSZYFPl2uZLCYQCpmnJxoAP1rM=[/tex]，[tex=2.786x1.286]O70b50CjphyHQOmte5mRWg==[/tex]，有 [tex=7.429x1.286]WqmblUR0zypV6Y07uHinX4eG06gtrTvwRGY46rlxFpqWqZ7HaUSv0SeZHJlKidjNZ8YDFKj/pbRIue7+NCrsQw==[/tex]，则令[tex=8.857x1.357]85JjtiYIgJrTnJoGwXSymQiMqdnpTY3P29Ien8SEAS+QjOOVs5XPEFDB2J2ev+Nd+Wa+lzw7qRjVFug1yHymtg==[/tex]，则[tex=2.929x1.214]4V0asHsO1QV9Pg/hIHeDe7Pi1fhHagpSLAKGuHK7wNQ=[/tex]，因而[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的真子集且[tex=4.143x1.357]A0YmRvsXMsL+GykMT5x+vpjxIQMGvbq45gQX83a4990=[/tex]。若[tex=4.571x1.214]KEiwlBQVG/E2fEhAUNFHrdEutoD9sE8ECRCQH5lskk8=[/tex]，[tex=2.857x0.929]Gb10gBgpE6uu4dOIRa1baw==[/tex]，使[tex=6.929x1.357]LHxitk0eIkv8iXjTQgzjjCeRW5YOmyKVl2lAnPsgHhvvTdKyFDhwxQnCz+G69BKdUbI/qpFkuZOtzfSdZFIDqA==[/tex]，则有[tex=7.286x3.286]wOQshVp3qEuyS51O+u/7S19cXgR4V887D9C5YqDSMUldo/TMbNmKkyQ/WL+NV4jQHzPE4ycnQ0a4WN6i4+9mJw==[/tex]。令 [tex=2.714x1.214]bT83mjioBEjZRPBFDKuSiA==[/tex]，则[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是一有限集，因而是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的真子集且[tex=4.143x1.357]A0YmRvsXMsL+GykMT5x+vpjxIQMGvbq45gQX83a4990=[/tex]，证毕。

举一反三

内容

0
说明下列说法是否正确:[br][/br]在要素[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]和[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]的当前使用水平上，[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的边际产量是3，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]的边际产量是2，每单位要素[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的价格是5，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]的价格是4，由于[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是比较便宜的要素，厂商如减少[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的使用量而增加[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]的使用量，社会会以更低的成本生产出同样多产量。
1
如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是不可数无穷集，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的可数子集，则[tex=5.214x1.357]joNYxOBxjvt3FdXXFG5WGg==[/tex]
2
证明事件 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] 与 [tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex] 相互独立 [tex=0.5x1.0]rYOiDj8WGCtLXbsoCBShoA==[/tex] 事件 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] 与 [tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex] 补（[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex] 的补集）相互独立。
3
证明如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]和[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是集合，[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是不可数的，并且[tex=2.857x1.143]r+9p/xoMBAoStsO9gAcKVw==[/tex]，则[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是不可数的。
4
设向量组[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]与向量组[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]的秩相等，且[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]组可由[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]组线性表示。证明[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]组与[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]组等价。