假设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex], [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 是 [tex=3.214x1.286]yePBYl9xv7kDrRe8qWAqOx8gDJv0w9r7XEEZnI3vGtQ=[/tex] 上的可测函数并且 [tex=4.643x1.286]6KgixuUk177tI70l96RfM94Z9RpCl2TOiEKLXnDj++g=[/tex], 若 [tex=4.786x1.286]KP7ByX78YNnXEQh8XznF7w==[/tex] 在 [tex=2.786x1.286]ZW7AECdvr1a0K279jQUMww==[/tex] 上可积, 试证明 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex], [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 都是 [tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex] 上的可积函数.
举一反三
- 设函数 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 有相同的定义域，证明:1)若 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 都是偶函数，则[tex=3.714x1.286]ozsp7XPKgBFjOdE7oDnq8Q==[/tex]是偶函数;2)若 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 都是奇函数，则[tex=3.714x1.286]ozsp7XPKgBFjOdE7oDnq8Q==[/tex]是偶函数;3)若 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] ， 一个是偶函数另一个是奇函数，则[tex=3.714x1.286]ozsp7XPKgBFjOdE7oDnq8Q==[/tex]是奇函数。
- 设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]，[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]为[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]上可测函数，试证[tex=3.857x1.286]fwtyRTMjkw6JCEsl+YJeLQ==[/tex]是可测集。
- 若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上可积 ，[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]与[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上只有有限个点处不相等。 证明: [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上可积， 且[tex=9.929x2.5]14xDmLJt4isLwqieEHGEwMATzfZioF6Ob4kHyWKRwI02Boav6J2K5sD+vOo0ypJSc9qJazfEIftbkNdMx1C4Sw==[/tex]。
- （1）设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]为可导函数, [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 为连续函数。试证在[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]的两个零点之间，一定有[tex=7.071x1.286]NP/Tk1dNVC5XgdXiZaik59O31JqNrpVPtxIJeiJLqtM=[/tex] 的零点。（2）设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]为可导函数, [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 为连续函数。试证在[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]的两个零点之间，一定有 [tex=7.571x1.286]MpGqAytk50XFougUBhxb5J8qk6xnEAHWpiNZqTd9Rwg=[/tex]的零点。
- 证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与 [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，则[tex=10.714x1.286]W/XrFzJTcqqLwDu982YtKoFjuWvOa1cyPn8xCcLcXey56DFItHGZqCzIK6HRZrrb[/tex]与[tex=10.5x1.286]QTDUTWEtyd7ak9ifLlqO7dAPP/k6ZQrQNNwMpCiNhW2HLeTI/DZfre+GNetAQbA+[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]都可积 。