要造一个容积为定值 [tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex] 的长方体无盖水池, 应如何选择水池的尺寸, 方可使它的表面积最小?

2022-06-12

要造一个容积为定值 [tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex] 的长方体无盖水池, 应如何选择水池的尺寸, 方可使它的表面积最小?

答案：

解: 设水池的长、宽、高分别为 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex], [tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex], [tex=0.5x1.286]asctJDWpGaq/ETe64ANZ1Q==[/tex], 则水池的表面积为 [tex=3.786x1.286]Vxv/HGUaoCkHac7UIYcoLQ==[/tex][tex=4.214x1.286]ztfexUDFs0Qa/1C/MFsj/GV9hxDMSf6fEdoZkJr5sNk=[/tex], 体积为 [tex=3.429x1.286]qEA52OSEtRTJNA8AMFnTvw==[/tex]. Lagrange 函数为 [tex=3.929x1.286]zxzxIAihgeOCmSRJVIq38w==[/tex][tex=5.0x1.286]jbSnH7ksgUG9btNWguKLDkeCN0plObXnjZLE1vvnUpU=[/tex][tex=4.571x1.286]8Efdh0lXIiO/+sOm70M7ZsCTpuCUHeB/+z8SN2SZyPc=[/tex]. 由[br][/br][tex=10.214x6.929]fnpmC2J6JmQBLyo5NmGAz0GgLnm9fhMb99G0ZlRlvVsy3NSrchkwTql1rdlZ7kLLfHJ3rj4nr1u7toFLIEt+b5QU2TiOXhAlP3EA8nLa0vFlAqSf6+/DUhvPcf0L0KdkW6+8aQBLK4608QCpyUY8+YX3xKg2n/w3OMk19KsBcjnrgB7SUUCJpqa4Fbg1jN5gl9ARG3bls7LniZ5dteFlNg==[/tex]得唯一解 [tex=4.571x1.5]635wG7bZdADl3vGX1j3jx1U1gl9+DSaJxTXiJ5BNyTY=[/tex], [tex=4.286x2.357]agnJlDqXho7vMPqS2p5unTKODxpe/hMxG740JD0nmZw=[/tex]. 由于所录的最小值一定存在, 且驻点唯一, 故 [tex=8.857x2.786]M1IrJ3ZN0n4vhD1ad20vgN69pVD3p5isNh0fPgxjwxvW3L6rbRRzzQ/ypsdtMvcnaPMhM/cu3fyxFwJRjvhgOfuSTvlnxzJyTwLFfHNInNY=[/tex] 就是所求的最小值点, 即当水池的长与宽相等, 高为长的一半时, 水池的表面积最小.

举一反三

内容

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求表面积为 [tex=3.0x1.214]iYxxE4pY0b/I8WN86MoZDOX/ynifXy7dCPCapkpHqb0=[/tex]的无盖长方体水箱的最大容积.
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要造一个表面积为定值a的长方体箱子，问这样选择尺寸才能使体积最大？
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当[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]为何值时，反常积分[tex=6.071x2.429]QDF3on418hztfquUcJypQYwtonQ+mFtQedEGxyAzTPBBJauFsgD+wTUcaYY8YVBM7TsP3lo1GIiuciBXniPdXw==[/tex]收敛？当[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]为何值时，这反常积分发散？又当[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]为何值时，这反常积分取得最小值？
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当[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]为何值时，广义积分[tex=6.071x2.429]p0+OH7YNKfNLWlS8e6PskjUtyopvOuo/tvBuTNUeY6PJxrsQc3E/JydvDYEgBDy6YEPU2lfw+ksgLS+lm6P50A==[/tex]收敛？当[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]为何值时，这广义积分发散？又当[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]为何值时，这广义积分取得最小值？
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某单位要建一个长方体水池,要求深度为4米,水池底面的面积为120米·,怎样设计水池的容积最大?