设[tex=0.643x0.786]SPoVA3bJlgfP9Ek9O4AbuA==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上可分, [tex=0.571x1.214]DXE2qJe9QayJDT2HOCKrUg==[/tex]在[tex=2.071x1.357]AyAHq4hpDPrw7tF5WF43xg==[/tex]上可分, 则[tex=0.571x1.214]DXE2qJe9QayJDT2HOCKrUg==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上可分.

2022-05-26

设[tex=0.643x0.786]SPoVA3bJlgfP9Ek9O4AbuA==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上可分, [tex=0.571x1.214]DXE2qJe9QayJDT2HOCKrUg==[/tex]在[tex=2.071x1.357]AyAHq4hpDPrw7tF5WF43xg==[/tex]上可分, 则[tex=0.571x1.214]DXE2qJe9QayJDT2HOCKrUg==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上可分.

答案：

不妨设[tex=4.0x1.214]e9dgkRD4ubLrCzzjIX5OfQckTjXQG3rdaLhkNxLhUmg=[/tex], 只要证[tex=5.429x1.357]gTslYiHJAf+XSxusXuEjml+MBZhafVNrxISE0ENjYsyey5WUcDk6nRwhdgfN4FxI[/tex].设[tex=0.643x0.786]SPoVA3bJlgfP9Ek9O4AbuA==[/tex]在[tex=2.0x1.357]YIjSgHn8CesSqD0f0HC70w==[/tex]上的极小多项式为[tex=14.5x1.5]s7p0rTN6joblHcegHwNHkMVdUUnorocRZIOJxxBQwRqvmc9K45q2HTaBTNUldYr6[/tex], 其中[tex=10.786x1.357]bsiKXh1D0rt3OMothiLR07AQYyRGHz9a3UQk9PI1AqNS0kOOskv1mHCdY11UMZEC[/tex]. 则[tex=11.071x1.357]CdfKlnFsOI2JwXVut9IXJjrBwgL11ZnyiPHC5MlDJoALbIhjzsIQZVkWrvFheHOOC/kekkw7J7JYAALmdrSYMg==[/tex]. 于是[tex=0.643x0.786]SPoVA3bJlgfP9Ek9O4AbuA==[/tex]在[tex=2.714x1.286]uMAMYsBSvF+lG/vfkVw8Uce8VOLwAWY4Flk0hUSL9lY=[/tex]上的极小多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]整除[tex=2.357x1.357]TEt8GlFos7lddq78EEZekw==[/tex], 且在[tex=3.143x1.357]kF1LVlpH/soQN1jqCOlD2A==[/tex]中有[tex=6.571x1.357]WMvaK0KOFR2ntcqelbQ/Pc9+KZjuBrLO3Uy3hT+BXm0=[/tex]. 因[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=3.143x1.357]kF1LVlpH/soQN1jqCOlD2A==[/tex]中不可约, 从而[tex=4.857x1.429]p0NGeGLWGuxbuDa3K3eB9Q==[/tex]. 但[tex=0.643x0.786]SPoVA3bJlgfP9Ek9O4AbuA==[/tex]在[tex=2.643x1.357]IibGP72syLr4/xw8Xn1GJqViombM+P5RVaXYyaqBNWU=[/tex]上可分, 所以只能[tex=4.5x1.357]hpODimbOXQZ9OLG1um3NMw==[/tex]. 故有[tex=15.714x1.357]UU86wd2bAFSjwy/rWB/WB8US3wzz+i/rcg46OeD/Fww8LyXJGaforgi1yyM/tT4c1NGUFFwPW83ml5JBVt7Wt1F3tTTj0tCGulgsiIAfE+0=[/tex][tex=9.143x1.357]cm/yiDRi/X52nY8aDBlmk7yJKn4yJWBFuH/ILnRVQ/6eCCvLAJXNiM6kUy51pZJOKtoA+NNatyNZ/wr7/4IlhJHsfdZL37jodKPWSOJo/Mw=[/tex].因[tex=0.571x1.214]DXE2qJe9QayJDT2HOCKrUg==[/tex]在[tex=2.071x1.357]AyAHq4hpDPrw7tF5WF43xg==[/tex]上可分, 所以[tex=8.214x1.357]YFJo03zpbNiOC10DDOXstwDkt25v46Ju+JcVt+uBf96OFeL0K4EpXC0kCFPaYbsvgEP9EPRPymLrvuTxoMqzXA==[/tex], 从而[tex=5.429x1.357]gTslYiHJAf+XSxusXuEjml+MBZhafVNrxISE0ENjYsyey5WUcDk6nRwhdgfN4FxI[/tex].证毕.

举一反三

内容

0
设[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上首系数为[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]的多项式，且在某扩域中有根 [tex=0.929x0.786]ZAiG7AJu8kc6lTV9euHRkQ==[/tex]证明：若[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可约，则[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的最小多项式.
1
设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是特征为[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的域 ([tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素数 ), [tex=1.929x1.357]V5fpmZb0R7HRGPlXabVmLw==[/tex]为代数扩张. 求证: 对每个[tex=2.071x1.071]88JjbS/ST4twPrU3q/sleg==[/tex]均存在整数[tex=2.5x1.143]YZZshURst2jqsRRwueVWJA==[/tex], 使得[tex=1.5x1.286]57gGkTXQr6fhuXvt030lJ3CRc13u8l2WC/PxcknVM/U=[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上可分.
2
设[tex=4.786x1.214]hSQMLcBhgNFENgN022zKCw==[/tex]是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可离元. 证明：[tex=1.071x1.0]d56LjdMUBXKbC4f6ujCFMQ==[/tex]也是[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上可离元.
3
设 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是特征为 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 的域, [tex=7.643x1.357]btud4JFbMuvgYfQLcEnwE5avp8UnpnuLTNhSRnnni64=[/tex] 证明 : [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 中不可约或 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 中分裂.
4
如果X满足[tex=1.0x1.214]uDLq1pltx8bidzPpXavtVw==[/tex]公理和[tex=1.0x1.214]HSZQQmMoQLPTE8orMMvtgA==[/tex]公理，则也满足[tex=1.0x1.214]9/dZqDJTFQ9zWNw2dnPh4g==[/tex]公理。