设半径为[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的球面[tex=0.786x1.0]u+XdLbGR5hhduje5YBESaw==[/tex]的球心在定球面[tex=6.071x1.429]ZqZWTnYSAeUMEuhHenqKYaC3J3NtKqaJ502p5lnLUhk=[/tex][tex=3.0x1.286]Nl/NBNyCFpk+ZEqEEQBIIA==[/tex]上，问当[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]取何值时，球面[tex=0.786x1.0]u+XdLbGR5hhduje5YBESaw==[/tex]在定球面内部的那部分的面积最大？

2022-05-26

设半径为[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的球面[tex=0.786x1.0]u+XdLbGR5hhduje5YBESaw==[/tex]的球心在定球面[tex=6.071x1.429]ZqZWTnYSAeUMEuhHenqKYaC3J3NtKqaJ502p5lnLUhk=[/tex][tex=3.0x1.286]Nl/NBNyCFpk+ZEqEEQBIIA==[/tex]上，问当[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]取何值时，球面[tex=0.786x1.0]u+XdLbGR5hhduje5YBESaw==[/tex]在定球面内部的那部分的面积最大？

答案：

解：不妨设[tex=0.5x1.286]asctJDWpGaq/ETe64ANZ1Q==[/tex]轴通过球面[tex=0.786x1.0]u+XdLbGR5hhduje5YBESaw==[/tex]的中心，则[tex=0.786x1.0]u+XdLbGR5hhduje5YBESaw==[/tex]的方程为[tex=7.929x1.5]wofJuAo+7D4F3GsZPAFoxIlsEUeirkZx+NFL+aNRw70=[/tex]。与定球面方程[tex=6.071x1.429]ZqZWTnYSAeUMEuhHenqKYaC3J3NtKqaJ502p5lnLUhk=[/tex]联立，消去[tex=0.5x1.286]asctJDWpGaq/ETe64ANZ1Q==[/tex]，可得两球面的交线在[tex=1.857x1.286]c+Z4Z8NGrrwjZdvrK/yxYw==[/tex]面上的投影曲线为[tex=11.571x3.929]GE56u9QCDTqcLxZ66HADygLHZbIq5rxENbjiljuigwtZR1pxeYlqxLwPjT4Dp2JsCxzLRD8dtMwB/kxQJxV+8uUAdkm6PPCa4d2erI1FrqqzZQB6AwKUWAEnvIDhO+j6wSYwX8nIrB2Hew/Us5kletCQIwSDbkq2BSxaeVtQlk4=[/tex]，记投影曲线所围的平面区域[tex=1.714x1.286]mP3/0UDe1zmskwQJ636K1g==[/tex]。球面[tex=0.714x1.286]rJIPk/ti1ZBQvvN6zyi1Vw==[/tex]在定球面内部的那部分曲面方程为[tex=8.214x1.643]IeSVpWWdCSi+2zVNkQqdBuBijWqDkxT5nDf0QZwh4qNAQjsahlaAIv10esCObhmh[/tex]，该部分曲面的面积为[tex=4.929x3.571]KfZq7n4VSC3fxmRHJ3qj5hCF3OZZSNpsXlXJFWubY+h7hSyB6rEcolDxQfhZL2Zc[/tex][tex=8.786x1.786]52//JAKCfuo2UX1nWvELUPjFIMb6GuS5z3BV4V52tz4WgKYn4erh3sMppMrgU40/[/tex][tex=10.143x3.571]VfNPe2HWaI4MUpES7+XJY1NkcDGpViIs86rKZJzZGmR3vMKI8e49tDQ04IhJb6YOFJ5K4a5vmAC5Ps5g/H28YyG67mW3eFwAawgBVKJ3GDI=[/tex][tex=6.214x2.929]vK2C713Uzo/8QzbRvJcaBkBhU8kGFA1RmCAdUfmOu+N3Mr9sD524u2hKop/l0TLLoWegrdjR/c1y1NLoNL+2Qg==[/tex][tex=9.214x2.429]qy2u4V+9qF3Sv6FiidYol+b69c+mKnsOwXn2MAMksCoZirWLB8sfsHe4w0GMN6oicMinxUKKHKJladpfFseQsqxU/VXoNzO+gc8X50TXbo8=[/tex][tex=5.929x2.5]8P0mNRbM1gbq0vGnjl+pGeSbIG//hG51GmEjvE/+x9BJ0oNhC2SWrOYrQHSqwFQW[/tex]。[tex=8.5x2.5]lId3qFtacADAwXjW2P/3aHZ0VuGgMHhseZurGCWZ6tMt4OzdiaW96UZn++628m3QIP9g4hgSR5VjzQSHx+sqEg==[/tex]，[tex=7.5x2.429]0Xos0b/Mrjzmqb94OfhZo0HrUMJwq7nphVWP9cdk5LJTjIo6RlRtECdDsYUE3iiKyEwk8TemljqeWbHe2VbYOw==[/tex]。令[tex=3.714x1.429]lId3qFtacADAwXjW2P/3aMMzJw0FplZHtcjhYjIA1mY=[/tex]。得驻点[tex=2.429x1.214]/btsAM1zRG0nPCwXzbMEBg==[/tex]（舍去），[tex=3.5x2.357]v+7GoS92lRcv/pv87dDgf6mWlRah3rIDpCw3v5uSRxs=[/tex]，[tex=8.857x2.786]0Xos0b/Mrjzmqb94OfhZo8/McK1Sa5L4QSRZpATEsAMkwKlmez/jTZW22gEjFzPtLQK4r5EuWVcmf+mh9stGqQ==[/tex]，故当[tex=3.143x2.357]M8pAVxlL72W0f1vQ0jwrC7JLYx9F4taCdDmEm7etWUs=[/tex]时，球面[tex=0.714x1.286]rJIPk/ti1ZBQvvN6zyi1Vw==[/tex]在定球面内部的那部分的面积最大。

举一反三

内容

0
证明半径为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的球面面积是[tex=2.286x1.214]S74t7qYQmL+8iqxxNkmSrA==[/tex]
1
设在非空集合[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]中定义了加法与乘法两种运算且1）[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]对加法为群；2）[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]对乘法为幺半群；3）加法与乘法间有分配律，证明[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]为幺环。
2
广义积分 [tex=5.143x2.714]Xd9srTkxvWQPrYPKjiL780Cq4iS1FX26WIc8T6G8k3PlEM8Uzb3eLx4Lxzp2rdvo[/tex]当 [tex=1.643x1.0]wjR3NwYBYS5Z+CTAU0MSRw==[/tex][u] [/u]时收敛,当[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex][u] [/u]时发散 .
3
函数[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]在[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]上单调增（或单调减），[tex=6.143x1.286]eYLxzJTBhA7iyuzINqnW+rkPkpLsB9Z2frUjW1QNzlE=[/tex]，证明：[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]在[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]上右连续。
4
设[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]是幺环，[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]是[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]模，证明有[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]到[tex=2.857x1.0]gZKKn8bx7SReTyueuBzyNw==[/tex]的同态[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]，使[tex=4.071x1.357]8UEKPVSSj2+e/+BjOHZHQV3Qkso2t11O8sy3dSx5nBg=[/tex]。